LP01 : Contact entre deux solides, frottement

Cinématique [1]

Vitesse de glissement

Translation pure

La vitesse de glissement $\vb{v_g}$ entre deux solides S_1 et S_2 en contact et en translation l’un par rapport à l’autre est la vitesse relative entre deux points I_1 et I_2 (appartenant respectivement à S_1 et S_2 ) situés au niveau de la surface de contact :

$\vb{v_g} = \vb{v}_{I_1/I_2}\textrm{.}$

Si $\vb{v_g} = \vb{0}$ il y a adhérence entre les deux solides, sinon il y a glissement.

Translation et rotation

On considère une roue ( S_1 ) de centre qui se déplace sur le sol avec le vecteur rotation $\vb{\omega}$ et la vitesse linéaire $\vb{v}_{O'/O}$ . La vitesse d’un point sur la roue par rapport à s’écrit :

$\vb{v}_{M/O} = \vb{v}_{M/O'} + \vb{v}_{O'/O} = \vb{\omega}\ \va{O'M} + \vb{v}_{O'/O}\textrm{.}$

On peut exprimer cette vitesse pour le point I_1 lié à la roue qui se situe au niveau du contact entre la roue et le sol :

$\vb{v}_{I_1/O} = \vb{\omega}\ \va{O'I_1} + \vb{v}_{O'/O}\textrm{.}$

Pour exprimer la vitesse de glissement de la roue sur le son, on doit introduire un point I_2 lié au sol et situé au niveau du contact entre la roue et le sol :

$\vb{v_g} = \vb{v}_{I_1/I_2} = \vb{v}_{I_1/O} - \vb{v}_{I_2}/O = (\vb{v}_{O'/O} + \vb{\omega}\ \va{O'I_1}) - (\vb{0}) = \vb{v}_{O'/O} + \vb{\omega}\ \va{O'I_1}\textrm{.}$

Il y a donc adhérence entre la roue et le sol si et seulement si $\vb{v}_{O'/O} = \vb{\omega}\ \va{O'I_1}$ , dans le cas contraire, il y a glissement.

Illustrer, par exemple avec une roue bloquée qui avance puis une roue qui tourne sur place.

Pour un roulement sans glissement on a :

$\vb{v}_{I_1/O} = \vb{v}_{O'/O} + \vb{v}_{I_1/O'} = - \vb{\omega} * \va{I_1O} + \vb{\omega} * \va{I_1O} = \vb{0}\textrm{.}$

À l’instant précis représenté, le point I_1 de la roue a une vitesse nulle par rapport au sol. On l’appelle centre instantané de rotation.

Dynamique [1]

Forces mises en jeu

Montrer que le palet ne glisse pas même si le dynamomètre tire dessus.

On étudie un palet ( S_1 ) tracté par un dynamomètre qui exerce une force $\vb{F}$ parallèle au support horizontal. Ce dernier exerce sur le palet une force $\vb{R}$ .

Si S_1 est immobile, le principe fondamental de la dynamique assure l’équilibre des forces :

$\vb{F} + \vb{P} + \vb{R} = \vb{0} \implies \vb{R} = - (\vb{F} + \vb{P})\textrm{.}$

Il sera utile de décomposer $\vb{R}$ comme la somme d’une force verticale $\vb{N}$ (normale au support) et d’une force horizontale $\vb{T}$ (tangentielle au support) et dite force de frottements, l’intérêt étant de pouvoir opposer les quatre forces ( $\vb{P}$ , $\vb{F}$ , $\vb{N}$ , $\vb{T}$ ) appliquées sur le solide S_1 deux à deux.

D’une part, le dynamomètre permet de mesurer $\norm{\vb{F}}$ et donc de déterminer $\vb{T} = - \vb{F}$ , d’autre part l’équilibre mécanique nous permet de connaître $\vb{N} = - \vb{P}$ .

Lois de Coulomb (1785)

Qu’on fait Amonton 1699 et DeVinci 1508 ?

Montrer la mesure puis montrer ce que l’on observe sur le dynamomètre lorsque le palet commence à glisser.

On constate que :

adhère tant que $\norm{\vb{F}} < \norm{\vb{F_{lim}}}$ ,
Si est en mouvement rectiligne uniforme (MRU) alors $\norm{\vb{F}} = \cst = \norm{\vb{F_{dyn}}}$ .

Donc quand S_1 est immobile, la force de frottements $\vb{T}$ s’adapte à $\vb{F}$ pour laisser S_1 en adhérence. Mais au-delà d’un certain seuil en norme $\norm{\vb{T_{lim}}}$ , S_1 commence à glisser.

Quand S_1 est en MRU, la force de frottements vaut en norme $\norm{\vb{T}} = \norm{\vb{T_{dyn}}}$ et est dans le sens opposé au mouvement. Des manips plus avancées permettent de montrer que l’égalité est valable quel que soit le mouvement.

Les expériences montrent plus quantitativement que :

$\norm{\vb{T_{lim}}} = \mu_s \norm{\vb{N}}\textrm{,}$

$\norm{\vb{T_{dyn}}} = \mu_d \norm{\vb{N}}$

Où $\mu_s$ et $\mu_d$ sont les coefficients de frottements statique et dynamique qui dépendent des matériaux constituants les surfaces en contact.

Exemple de valeurs

On a parlé de $\vb{T}$ mais alors que peut on dire sur $\vb{R}$ ? Comme $\norm{\vb{N}}$ ne change pas, on peut définir un angle $\alpha$ entre $\vb{N}$ et $\vb{R}$ qui dépend seulement de $\norm{\vb{T}}$ . Pour $\norm{\vb{T}} = \norm{\vb{T_{lim}}}$ , on a $\alpha = \alpha_{lim}$ . Le solide reste donc immobile tant que $\alpha < \alpha_{lim}$ . Le principe fondamental de la dynamique permet d’obtenir :

$\alpha_{lim} = \arctan\left({\frac{\norm{\vb{T_{lim}}}}{\norm{\vb{N}}}}\right) = \arctan\left({\mu_s}\right)\textrm{.}$

On définit alors le cône de frottements de demi-angle d’ouverture $\Phi_s = \arctan\left(\mu_s\right)$ . Les situations où $\norm{\vb{T}} < \norm{\vb{T_{lim}}}$ sont équivalentes aux situations où $\vb{R}$ est orienté dans le cône. L’introduction de cet élément géométrique permet d’appréhender plus facilement les problèmes.

On pourra aussi défnir $\Phi_d = \arctan\left(\mu_d\right)$ demi-angle d’ouverture d’un autre cône sur lequel s’aligne la force $\vb{T_{dyn}}$ lors du glissement.

Influence de la surface de contact

Tout cela semble conforme à l’expérience, mais quelque chose est surprenant : la surface de contact n’intervient nulle part or une surface plus grande semble prescrire plus de frottements (une adhérence meilleure).

Faire la manip avec une boîte parallélépipédique ou plusieurs palets de même constitution mais de surfaces différentes.

On constate que la surface n’a pas d’influence sur $\norm{\vb{T_{lim}}}$ ni sur $\norm{\vb{T_{dyn}}}$ .

Simulation python ?

Exemples

Bicyclette : retour sur le roulement

On considère un vélo immobile au départ de l’expérience : $\vb{v_g} = \vb{0}$ . Le poids de la roue et la force normale du sol sur la roue s’opposent.

L’adhérence entre la roue et la route est à l’origine d’une force tangentielle au sol exercée par la roue sur la route lorsque que le cycliste appuie sur une pédale.

Pour ne pas « patiner » en démarant, le cycliste doit exercer sur les pédales un couple tel que la force de réaction exercée par la route sur la roue soit orientée dans le cône de frottements.

Si le vélo avance et que la roue ne glisse pas, c’est que :

La vitesse de glissement $\vb{v_g}$ est nulle,
La résultante des forces exercées sur la bicyclette est orientée vers l’avant.

Attention au schéma dangereux (deux forces s’opposent mais ne s’appliquent pas sur le même solide).

La force du sol sur la roue est vers l’avant, tant qu’elle reste dans le cône, le vélo avance mais ne glisse pas. Si R sort du cône, on passe en glissement.

Exp : faire du vélo sur la glace, on pédale “dans le vide”.