LP02 : Gravitation

Copernic et les anciens étudiaient le mouvement des astres dans le ciel, en essayant de déterminer leurs positions au fil des nuits. L’hypothèse d’un univers géocentrique de Ptolémée sera contre-dite dans une publication de Copernic qui en 1543, après 36 ans d’observations, avance un modèle héliocentrique plus simple du système solaire. L’Église ne s’opposera à ces écrits qu’en 1616 lorsque Galilée les confirmes par l’expérience. Il se base sur les observations de Tycho Brahé (lui-même adepte du modèle géocentrique) qui le premier a l’idée de sceller les débat par une rigoureuse prise de mesures.

État des lieux en 1642 [1] [2]

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Lois de Képler

Képler, cherchant lui aussi à comprendre le système solaire, s’appuie sur les idées de Copernic et les mesures de Brahé. Il ne cherche pas à vérifier que les trajectoires correspondent à des cercles, mais cherche à déterminer directement la forme de leur orbite.

Il en conclut que chaque planète se déplace autour du Soleil selon une trajectoire elliptique.

Il observe aussi que les planètes ne tournent pas autour du Soleil à une vitesse constante, mais se déplacent plus rapidement lorsqu’elles sont plus proches de l’étoile, de sorte que le rayon vecteur liant le Soleil à la planète balaye une surface égale pendant des durées égales. On dira qu’elles ont une vitesse aréolaire constante : la surface balayée par unité de temps est constante.

Enfin, il remarque que le temps nécessaire à une planète pour faire le tour de sa trajectoire est proportionnel à la puissance $\frac{3}{2}$ du demi-grand axe de cette dernière.

Dynamique de Galilée [1]

À la même période, Galilée qui étudie le mouvement énonçait le principe d’inertie selon lequel un corps préserve son état de repos ou de mouvement tant qu’il n’est pas contraint, par quelque chose qui le touche ou le perturbe autrement, à changer cet état.

Contribution de Newton (1687)

Dynamique de Newton [1]

Newton formalise les idées de Galilée, il définit les notions de froce et d’accélération puis exprime mathématiquement les trois lois qui portent son nom.

La loi de gravitation universelle [1]

Il peut conclure que la force exercée par le Soleil sur une planète doit nécessairement être orientée de cette dernière vers ce premier.

Le principe d’action-réaction combiné au principe d’inertie permet d’avancer que la masse du Soleil et la masse de la planète doivent jouer un rôle symétrique dans l’expression de la force d’attraction. Par ailleurs, les calculs de la vitesse de chute de la Lune vers la Terre, puis de celle de la Terre et de Jupiter vers le Soleil, permettent d’établir une relation de la force à la distance en $\frac{1}{r^2}$ . L’idée est répétée sur les satellites connus de Jupiter, affirmant un début de caractère universel à la loi ainsi énoncée.

Dynamique des astres

On cherche dans cette partie à décrire plus complètement les mouvements d’un système à deux corps liés par la gravitation. On suppose la loi de gravitation de Newton et on va montrer qu’elle est mathématiquement conforme aux lois de Képler.

Considérons un objet de masse et vitesse $\vb{v}$ parcourant une trajectoire autour d’un astre attracteur de centre et de masse $m_\odot$ , les deux étant reliés par un vecteur $\vb{r}$ orienté vers l’objet.

$\vb{F} = - G \frac{m m_\odot}{r^2} \vu{r}$

Loi des aires [2]

D’une part, $\vb{F}$ est une force centrale, le calcul de son moment en donne le vecteur nul, ce qui entraine $\frac{\dd{\vb{L}_O}}{\dd t} = \vb{0}$ . Le moment cinétique calculé en est donc constant et vaut :

$\vb{L}_O = \vb{r} \cross m \vb{v} = \vcst\textrm{.}$

Vu cette expression, $\vb{r}$ et $\vb{v}$ doivent être contenus dans un plan orthogonal à $\vb{L}_O$ , la trajectoire de est donc contenue dans le plan perpendiculaire à $\vb{L}_O$ passant par . On choisit un repère cylindrique $O(r, \theta, z)$ tel que soit parallèle à $\vb{L}_O$ , ce qui permet d’exprimer le vecteur moment cinétique comme $\vb{L}_O = L_z \vu{z}$ avec $L_z = \cst$ . Calculons :

$\vb{L}_O = L_z \vu{z} = r \vu{r} \cross m \dt{\vb{r}} = r \vu{r} \cross m \qty(\dt{r} \vu{r} + r \dt{\theta} \vu{\theta}) = m r^2 \dt{\theta} \vu{z}\textrm{,}$

d’où $L_z = m r^2 \dt{\theta}$ .

D’autre part, la vitesse aréolaire $\mathcal{V}_a$ définie s’exprime :

$\mathcal{V}_a = \frac{\dd{\mathcal{A}}}{\dd t} = \frac{1}{\dd t} \qty(\frac{r \times r \dd{\theta}}{2}) = \frac{L_z}{2m} = \frac{C}{2}\textrm{,}$

d’où finalement, $\mathcal{V}_a = \cst$ .

Trajectoire et période de révolution [3]

Nous avons déjà exprimé les vecteurs $\vb{r}$ et $\vb{v}$ dans le repère cylindrique. Le vecteur accélération $\vb{a}$ peut s’exprimer soit par la dérivée temporelle de $\vb{v}$ , soit par le principe fondamental de la dynamique :

$\vb{a} = - G \frac{m_\odot}{r^2} \vu{r} = (\dtt{r}-r\dt{\theta}^2)\vu{r} + \cancel{(2\dt{r}\dt{\theta}+r\dtt{\theta})\vu{\theta}}\textrm{.}$

Par ailleurs nous avions $\dt{\theta} = \flatfrac{C}{r^2}$ ; et puisque :

$\dt{r} = \dv{r}{t} = \dv{r}{\theta} \dv{\theta}{t} = \dv{r}{\theta} \frac{C}{r^2}\textrm{,}$

alors ces égalités nous permettent de ré-éxprimer $\vb{a}(r, \dtt{r}, \dt{\theta})$ comme :

$\begin{align*} \vb{a} = \qty(\dv{t} \dv{r}{t} - r \qty(\dv{\theta}{t})^2) \vu{r} = \qty(\dv{t} \qty(\frac{C}{r^2} \dv{r}{\theta}) - r \frac{C^2}{r^4}) \vu{r} = \qty(\dv{\theta} \qty(\frac{C}{r^2} \dv{r}{\theta}) \dv{\theta}{t} - \frac{C^2}{r^3}) \vu{r}\\ = \frac{C^2}{r^2} \qty(-\dv[2]{\theta}(\frac{1}{r}) - \frac{1}{r}) \vu{r} = \vb{a}(\flatfrac{1}{r}) \end{align*}$

Nous avons maintenant deux expressions pour $\vb{a}$ , toutes deux exprimées comme fonctions de $\flatfrac{1}{r}$ . C’est l’intéret de ce calcul qui nous permet d’égaliser $\norm{\vb{a}}$ pour écrire une équation différentielle de $\frac{1}{r}$ en $\theta$ :

$\frac{C^2}{r^2} \qty(\dv[2]{\theta}(\frac{1}{r}) + \frac{1}{r}) = G \frac{m_\odot}{r^2} \implies \dv[2]{\theta}(\frac{1}{r}) + \frac{1}{r} - G \frac{m_\odot}{C^2} = 0\textrm{.}$

La résolution de cette équation différentielle donne :

$\frac{1}{r} = G \frac{m_\odot}{C^2} + A \cos(\theta - \theta_0)\textrm{,}$

égalité que l’on peut écrire, en choisisant la constante d’intégration $\theta_0$ nulle :

$r = \frac{1}{G \flatfrac{m_\odot}{C^2} + A \cos\theta} = \frac{\flatfrac{C^2}{G m_\odot}} {1 + \flatfrac{A C^2}{G m_\odot} \cos\theta} = \frac{p}{1 + e \cos\theta}\textrm{,}$

que l’on reconnait comme équation d’une cônique d’exentricité et de paramètre .

$\software{python/coniquesSystemeSolaire.py}$

Notre objet suit donc autour du Soleil une trajectoire qui correspond à une conique, comme l’annonçait la troisième loi (empirique) de Képler pour le cas particulier des planètes.

Astre	Aphélie $\si{\astronomicalunit}$	Périhélie $\si{\astronomicalunit}$	Exentricité	Période orbitale $\si{\year}$
Terre	1.02	0.98	0.0137	1.00
Mars	1.66	1.38	0.0934	1.88
Neptune	30.44	29.77	0.00858	164.80
Swift-Tuttle	51.23	0.96	0.9362	133.28
Hale-Bopp	370.8	0.91	0.995	4000
Oumuamua		0.25	1.197

Le cas des orbites fermées permet de définir une période de révolution , que l’on peut exprimer simplement à partir de l’aire de la surface délimitée par la trajectoire et la vitesse aréolaire :

$T^2 = \qty(\frac{S}{\mathcal{V}_a})^2 = \qty(\frac{\pi a b}{\flatfrac{C}{2}})^2 = \frac{\pi^2 a^3 p}{\qty(\flatfrac{C}{2})^2} = \frac{4 \pi^2 a^3}{G m_\odot}\textrm{,}$

d’où :

$\frac{T^2}{a^3} = \frac{4 \pi^2}{G m_\odot} = \cst\textrm{.}$

On retrouve la troisième loi de Képler puisque la constante ne dépend que de la masse de l’attracteur.

Énergie mécanique [2]

L’énergie mécanique de s’exprime :

$\mathcal{E}_m = \mathcal{E}_c(\dt{r}) + \mathcal{E}_p(r) = \frac{1}{2} m \qty(\dt{r}^2 + r^2 \dt{\theta}^2) + \mathcal{E}_p(r) = \frac{1}{2} m \dt{r}^2 + \frac{L_z^2}{2mr^2} + \mathcal{E}_p(r)\textrm{.}$

On constate que deux des termes ne dépendent que . Nous les regroupons en un terme d’énergie potentielle effective :

$\mathcal{E}_m = \frac{1}{2} m \dt{r}^2 + \mathcal{E}_{p,e}(r)\textrm{,}$

dont, nous allons le voir, la valeur, comparée à celle de l’énergie mécanique, renseigne, elle aussi, sur la trajectoire de

Tracer la courbe et y associer les côniques.

La gravitation de Newton constitue un modèle satisfaisant d’observations astronomiques et quotidiennes, mais certains faits expérimentaux y échappent :

D’une part elle a entrainé les astronomes, qui observaient des déviations dans l’orbite d’Uranus, à émettre l’hypothèse qu’une huitième planète (aujourd’hui Neptune) pourrait faire partie du système solaire, prédire sa position, et l’observer (1864).
D’autre part elle n’a jamais su expliquer la précession de l’orbite de Mercure, mesurée dès 1859.

C’est Einstein qui en 1915 propose une nouvelle théorie de la gravitation, résolvant le problème de l’orbite de Mercure. Sa théorie de la relativité générale englobe bien la théorie de Newton, et propose l’existence de phénomènes nouveaux qui sont aujourd’hui mesurés.