LP03 : Caractère non galiléen du référentiel terrestre

L’objectif ce cette leçon est d’étudier l’application du principe fondamental de la dynamique à tous les référentiels, et d’en tirer des résultats comparables aux observations.

Nous aurons déjà vu que deux nouveaux termes s’ajoutent à l’accélération et servent à transposer l’expression d’un référentiel galiléen vers un référentiel non galiléen, tenant compte des effets inertiels.

Dans la leçon nous considèreront les référentiels :

géocentrique $\fref{T}$ , supposé galiléen et repéré par $T(x_\fref{T}, y_\fref{T}, z_\fref{T})$ de sorte que l’axe $Tz_\fref{T}$ soit l’axe Sud-Nord ;
du laboratoire, à la latitude , repéré par de sorte que :
- corresponde à la verticale locale,
- soit dirigé vers le nord,
- soit dirigé vers l’est,
- $\norm{\va{TO}} = R_T$ soit le rayon de la Terre,

Le vecteur $\vb{\Omega}$ est le vecteur rotation de la Terre autour de $Tz_\fref{T}$ .

L’accélération d’inertie d’entrainement d’un point dans le laboratoire est :

${\vb{a_e}}_{A/\fref{L}} = \vb{a}_{O/\fref{T}} + \dv{\vb{\Omega}}{t} \cross \va{OA} + \vb{\Omega} \cross (\vb{\Omega} \cross \va{OA})\textrm{,}$

et l’accélération d’inertie de Coriolis s’écrit :

${\vb{a_c}}_{A/\fref{L}} = 2 \vb{\Omega} \cross \vb{v}_{A/\fref{L}}\textrm{,}$

avec des notations usuelles.

Effets de l’accélération d’entraînement

Poids, champ de pesanteur, verticale

Qu’est-ce que, expérimentalement, le poids ? Une réponse possible est la suivante : le poids d’un corps est expérimentalement la force qu’il faut compenser pour garder ce corps immobile dans le référentiel géocentrique.

Prenons l’exemple d’une masse immobile dans $\fref{L}$ . La terre y exerce une force via son champ gravitationnel $\vb{\fref{G}}$ , et son support y applique une force $\vb{F_r}$ , de sorte que le principe fondamental de la dynamique dans $\fref{L}$ s’écrive :

$m\qty(\vb{a_e} + \vb{a_c} + \vb{0}) = \vb{F_r} + m\vb{\fref{G}}(R_T)\textrm{,}$

avec :

$\begin{align*} \vb{a_e} = - \Omega^2 R_T \cos(\lambda) \qty(\cos(\theta)\vu{x_\fref{T}} + \sin(\theta)\vu{y_\fref{T}}) &= - \Omega^2 R_T \qty(\vu{z} - \sin(\lambda)\vu{z_\fref{T}})\\ &= - \Omega^2 R_T \qty(\cos[2](\lambda)\vu{z} - \cos(\lambda)\sin(\lambda)\vu{y}) \end{align*}$

ainsi que :

$\vb{a_c} = \vb{0}\textrm{,}$

d’où :

$\vb{F_r} = m\qty (\qty(- \Omega^2 R_T \cos[2](\lambda) + \frac{G M_T}{R_T^2})\vu{z} - \Omega^2 R_T \cos(\lambda)\sin(\lambda)\vu{y}) = - \vb{P} = - m \vb{g}\textrm{,}$

définissant ainsi le poids $\vb{P}$ et le champ de pesanteur $\vb{g}$ .

Alors la verticale étant définie comme la normale au sol (vecteur $\vu{z}$ ) on constate que le champ de pesanteur $\vb{g}$ n’y est pas nécessairement parallèle. L’angle $\alpha$ entre les deux varie selon la latitude :

$\alpha = \left\{\begin{array}{ll} \ang{0;0;0} & \mbox{à l'équateur ($\lambda = \SI{0}{\degree}$)}\\ \ang{0;5;55} & \mbox{à Paris ($\lambda = \SI{48}{\degree}$)}\\ \ang{0;0;0} & \mbox{aux pôles ($\lambda = \SI{90}{\degree}$)}\\ \end{array}\right.\textrm{.}$

Notons qu’à l’équateur les deux directions sont confondues et :

$\frac{\flatfrac{G M_T}{R_T^2}}{\Omega^2 R_T} = 290 = 17^2\textrm{,}$

autrement dit, si la Terre tournait sur elle-même 17 fois plus rapidement ( $\Omega \rightarrow 17 \Omega$ ), le champ de pesanteur serait nul à l’équateur.

Effet de l’accélération de Coriolis

Pendule de Foucault (1851) [1]

Citer la feuille volante du correcteur.

Montrer le pendule que l’on aura lancé en début de leçon.

Montrer le script $\software{./python/pendule\_de\_foucault.py}$ qui simule le pendule du Panthéon que l’on aura lancé en début de leçon.

Décrire rapidement l’expérience au Pôle-Nord puis avec les mains à une autre latitude.

On considère maintenant un pendule de période $\tau$ qui oscille sur l’axe Sud-Nord local, de masse au point , de sommet , et de sorte que coïncide avec au repos, le principe fondamental de la dynamique s’écrit dans le référentiel du laboratoire :

$m\qty(\vb{a_c} + \vb{a}_{A/\fref{L}}) = f_t\va{AS} + m\vb{g}\textrm{,}$

$\vb{a_c} = 2 \vb{\Omega} \cross \vb{v}_{A/\fref{L}}\textrm{.}$

On s’intéresse ici au mouvement dans le plan horizontal, décrit quand $\vb{a_c}$ n’est pas présent par :

$\left\{\begin{array}{ll} x(t) &= 0\\ y(t) &= - Y \cos(\omega t) \end{array}\right.\textrm{,}$

d’où $\dt{y} = - Y \omega \sin(\omega t)$ (avec y(0) = -Y ). Alors pour le premier aller ( $t \leq \frac{\tau}{2}$ ) :

$\vb{a_c} = 2 \vb{\Omega} \cross \vb{v}_{A/\fref{L}} = + 2 \Omega \sin(\lambda) \dt{y} \vu{x}\textrm{,}$

qui est la seule contribution d’accélération selon $\vu{x}$ . Donc :

$\begin{align*} \norm{\vb{a_c}} = \dv{\dt{x}}{t} \implies \dt{x} &= - 2 \Omega \sin(\lambda) Y \cos(\omega t) + \cst\\ &= 2 \Omega \sin(\lambda) Y (1 - \cos(\omega t)) \end{align*}$

en prenant $\dt{x}(0) = 0$ pour l’intégration. Enfin, toujours pour $t \leq \frac{\tau}{2}$ ,

$x(t) = 2 \Omega \sin(\lambda) Y (t - \frac{\sin(\omega t)}{\omega})\textrm{.}$

Au bout du premier aller, calculons :

$x\qty(\flatfrac{\tau}{2}) = 2 \Omega Y \sin(\lambda) \frac{\tau}{2} = \delta_0\textrm{.}$

La circonférence du cercle qui joint les différents points de rebroussement (dans l’hypothèse d’un pendule sans amortissement) est $C = 2 \pi Y$ . On exprime alors :

$\delta_0 = \frac{\Omega}{2\pi} C \tau \sin(\lambda) = \frac{\tau}{\tau_{\mathrm{Terre}}} C \sin(\lambda)\textrm{.}$

L’application numérique pour le pendule de Foucault au panthéon (pendule haut de $\SI{67}{\meter}$ , $\lambda = \SI{48}{\degree}$ et $Y = \SI{15}{\meter}$ ) donne : $\tau = \SI{16}{\second}$ puis $\delta_0 = \SI{1.2}{\centi\meter}$ . Le phénomène était donc facilement observable sur ce pendule. Notons que le pendule fait un tour complet après $n = \flatfrac{C}{\delta_0} \approx 7600$ demi-oscillations en $n \tau = \frac{\tau_{\mathrm{Terre}}}{\sin(\lambda)} = \SI{1.4}{\day}$ (résultat qui est indépendant des paramètres du pendule !).

Déviation vers l’est (1903) [1]

Lors de la chute d’une bille sur Terre depuis une altitude , étudiée dans le référentiel $\fref{L}$ , le principe fondamental de la dynamique s’écrit :

$m\qty(2 \vb{\Omega} \cross \vb{v}_{B/\fref{L}} + \vb{a}_{B/\fref{L}}) = m\vb{g}\textrm{,}$

en prenant $\vb{v}_{B/\fref{L}} = t\vb{g}$ et $\vb{g} = g\vu{z}$ il vient :

$\vb{a}_{B/\fref{L}} = g\vu{z} - 2 \vb{\Omega} \cross \qty(tg\vu{z}) = g \qty(\vu{z} - 2 \Omega t \cos(\lambda) \vu{x})\textrm{.}$

Le calcul indique que la bille va avoir un mouvement dirigé suivant $\vu{x}$ (l’Est). L’intégration de $\vb{a}_{B/\fref{L}} \dotproduct \vu{x}$ donne :

$x(t) = \frac{g t^3 \Omega \cos(\lambda)}{3}\textrm{,}$

puis en introduisant l’altitude de départ calculée pour une chute qui a duré $\Delta{t}$ , $h=\flatfrac{1}{2}g\Delta{t}^2$ :

$x_h = \qty(\frac{8 h^3}{9g})^{1/2} \Omega \cos(\lambda)\textrm{,}$

on peut calculer la distance horizontale parcourue par la bille pendant sa chute.

Flammarion est le premier à avoir réussi l’expérience, depuis la coupole du Panthéon ( $h = \SI{68}{\meter}$ ) il a mesuré $x = \SI{7.6}{\milli\meter}$ pour une valeur attendue de $x=\SI{8.1}{\milli\meter}$ .

Quelque autres phénomènes

Les cyclones s’enroulent tous dans le même sens expliqué par les effets de Coriolis, en considérant les vents qui convergent vers une zone de dépression.
Les tireurs d’élite corrigent la déviation vers l’est due à Coriolis quand ils tirent sur de longues distances ().
Les rails de chemin de fer sont plus abimé côté Est (Quelle que soit la direction des trains qui les empruntes).

Marées océaniques [1]

Dire qu’on pourrait en parler, mais ne pas traiter cette partie.

Dans cette leçon, nous considérons le référentiel $\fref{T}$ géocentrique comme Galiléen, mais bien sûr, il ne l’est pas vraiment.

Trouver quoi dire de plus sur cette ouverture dangereuse.