LP04 : Précession dans les domaines macroscopique et microscopique

Dans cette leçon, nous utilisons une seule loi pour expliquer des phénomènes présents de l’astrophysique à la physique atomique.

La toupie

Montrer la toupie.

Description cinétique

On considère, dans le référentiel galiléen $\fref{R}$ repéré par O(x, y, z) , un solide à symétrie cylindrique, de masse et centre de masse . On introduit un autre référentiel $\fref{R'}$ repéré par O(i, j, k) orienté de sorte que l’axe soit aligné sur l’axe de symétrie du solide, qui est libre de tourner autour du point . On prend $\norm*{\va{OG}} = l$ , et est vertical.

On appelle :

Rotation propre, le mouvement de rotation autour de , associé à la vitesse angulaire $\dt{\phi}$ .
Précession, le mouvement de rotation autour de , associé à la vitesse angulaire $\dt{\psi}$ .
Nutation, le mouvement de rotation, associé à la vitesse angulaire $\dt{\theta}$ , qui se fait autour d’un axe que nous n’allons pas nommer.

L’approximation gyroscopique est une relation d’ordre sur les vitesses de rotations définies ci-dessus. On fera l’approximation que $\dt{\phi} \gg \dt{\psi} \gg \dt{\theta}$ .

Le vecteur rotation de $\fref{R'}$ par rapport à $\fref{R}$ va s’écrire : $\vb{\Omega}_{\fref{R'}/\fref{R}} = \dt{\psi} \vu{z}$ .

Le vecteur rotation de par rapport à $\fref{R'}$ va s’écrire : $\vb {\Omega}_{S/\fref{R'}} = \dt{\phi} \vu{k}$ .

Le vecteur rotation de par rapport à $\fref{R}$ est donc : $\vb{\Omega}_{S/\fref{R}} = \dt{\psi} \vu{z} + \dt{\phi} \vu{k}$ .

Précession de la toupie

Dans $\fref{R}$ on applique le théorème du moment cinétique au solide en contact parfait avec son support au point , qui y applique une action mécanique $\vb{N} = -m\vb{g}$ .

$\eval{\dv{\vb{L}_O}{t}}_\fref{R} = \mathcal{M}_O(-m\vb{g}) + \mathcal{M}_O(\vb{N}) = - \va{OG} \cross m\vb{g} + \vb{0} = m g l \qty(\vu{z} \cross \vu{k})\textrm{.}$

Par ailleurs, donné la symétrie, le moment cinétique de s’écrit :

$\vb{L}_O = \smqty(\dmat{I, I, J})_{\fref{R'}} \dotproduct \vb{\Omega}_{S/\fref{R'}} = J \dt{\phi} \vu{k}\textrm{.}$

Vitesse de précession

Voir si les calculs sont faits dans [1].

Alors, en combinant les égalités :

$\begin{align*} \eval{\dv{t}(J\dt{\phi}\vu{k})}_{\fref{R}} = \eval{\dv{t}(J\dt{\phi}\vu{k})}_{\fref{R'}} + \vb{\Omega}_{\fref{R}/\fref{R'}} \cross J\dt{\phi}\vu{k} &= \vb{0} + \dt{\psi}\vu{z} \cross J\dt{\phi}\vu{k}\\ &= m g l \qty(\vu{z} \cross \vu{k}) \end{align*}$

d’où après projection :

$\dt{\psi} = \frac{m g l}{J\dt{\phi}}\textrm{,}$

algébriquement, la vitesse angulaire de précession.

Décrire et schématiser les différents régimes : bouclé, rebroussement, dormant.

Application numérique sur la toupie de manip.

D’autre part :

$\vb{L}_O \dotproduct \dv{\vb{L}_O}{t} = 0 = \frac{1}{2} \dv{L_O^2}{t} \implies \norm{\vb{L}_O} = \cst\textrm{.}$

Et :

$\vu{z} \dotproduct \dv{\vb{L}_O}{t} = \dv{\vb{L}_O \dotproduct \vu{z}}{t} = 0 \implies L_z = \cst\textrm{.}$

Ces résultats permettent d’affirmer que le moment cinétique $\vb{L}_O$ et donc $\vb{\Omega}_{S/\fref{R'}}$ ainsi que l’axe de symétrie de la toupie (), décrivent un cône autour de l’axe , cône parcouru dans le même sens de rotation que la rotation propre.

La Terre comme un gyroscope déséquilibre [2]

Application numérique de la Terre dans le champ de pesanteur du Soleil. Cycles de Milankovitch (précession de l’ellipse + du pôle Nord).

Précession et magnétisme, spectroscopie RMN [3]

Spin nucléaire de l’hydrogène

Rappels sur le moment cinétique quantique. [4]

Moment cinétique orbital : $\vb{L} = \vb{r} \cross \vb{p}$ .

Composantes :

$\begin{align*} L_x &= yp_z - zp_y\\ L_y &= zp_x - xp_z\\ L_z &= xp_y - yp_x \end{align*}$

Règle de correspondance : $\vb{p} = - i \hbar \grad$ , donc $\vb{L} = - i \hbar \vb{r} \cross \grad$ .

Commutations :

$\begin{align*} \comm{\vb{L_x}}{\vb{L_y}} &= i \hbar \vb{L_z}\\ \comm{\vb{L_y}}{\vb{L_z}} &= i \hbar \vb{L_x}\\ \comm{\vb{L_z}}{\vb{L_x}} &= i \hbar \vb{L_y} \end{align*}$

Opérateur carré : $\vb{L}^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2$ et $\comm{\vb{L^2}}{L_x}=\comm{\vb{L^2}}{L_y}=\comm{\vb{L^2}}{L_z}=0$ .

En coordonnées sphériques,

$L_z = - i \hbar \pdv{\phi}$

est beaucoup plus simple que L_x ou L_z .

Quantification : puisque les commutateurs sont nuls, il existe trois ensembles de fonctions propres communes aux paires $\vb{L}^2$ , L_x … On choisit celles de $\vb{L}^2$ et L_z :

$\begin{align*} \vb{L}^2 Y(\theta, \phi) &= \hbar^2 \lambda Y(\theta, \phi)\\ \vb{L_z} Y(\theta, \phi) &= \hbar \mu Y(\theta, \phi) \end{align*}$

On sépare les variables, on écrit l’équation différentielle, le calcul donne : $\Phi(\phi) = C e^{i \mu \phi}$ . Or $\Phi$ dérivable implique $\Phi(2Pi) = \Phi(0) \implies e^{2i\mu\pi} = 1 \implies \mu \in Z$ .

On s’intéresse aux noyaux atomiques de moment cinétique de spin $\vb{S}$ non nul associé au moment magnétique $\vb{\mu}$ . Les deux moments, qui sont quantifiés, sont liés par le facteur gyromagnétique du noyau : $\vb{\mu} = \gamma \vb{S}$ , où $\gamma$ peut être positif ou négatif.

Le moment cinétique de spin d’un noyau d’hydrogène (spin $S = \flatfrac{1}{2}$ ) peut se trouver dans 2S + 1 = 2 états quantiques.

Leur énergie d’interaction avec un champ magnétique extérieur s’écrit :

$\begin{align*} E_+ &= + \frac{1}{2} \gamma \hbar B_0\\ E_- &= - \frac{1}{2} \gamma \hbar B_0 \end{align*}$

Le champ extérieur lève la dégénérescence. La différence d’énergie est $\Delta E = \gamma \hbar B_0$ associée à une fréquence de transition $\nu = \gamma B_0$ .

Précession du spin nucléaire autour d’un champ fixe

Le proton de moment magnétique $\vb{\mu}$ et moment cinétique en $\vb{L}_O$ constitue le noyau des atomes d’hydrogène. Les moments $\vb{\mu}$ et $\vb{L}$ sont liés par la relation : $\vb{\mu} = \gamma \vb{L}$ où $\gamma$ est le facteur gyromagnétique du proton.

On plonge le proton dans un champ magnétique $\vb{B_0} = B_0 \vu{z}$ . Le théorème du moment cinétique dans $\fref{R}$ en s’écrit :

$\eval{\dv{\vb{L}_O}{t}}_R = \vb{\mu} \cross \vb{B_0} \implies \eval{\dv{\vb{\mu}}{t}}_R = \gamma \vb{\mu} \cross \vb{B_0} = - \gamma \vb{B_0} \cross \vb{\mu}\textrm{.}$

Cette relation permet d’affirmer que $\vb{\mu}$ décrit un cône autour du vecteur $\vb{B_0}$ à la vitesse angulaire $\vb{\Omega_0} = - \gamma \vb{B_0}$ dite fréquence de Larmor, qui est propre à l’atome d’hydrogène pour un champ magnétique donné.

Bien comprendre pourquoi le cône, voir [2] et [3]

Mouvement et champ magnétique apparent dans un référentiel tournant

Alors, dans un référentiel tournant à la vitesse $\vb{\Omega_0}$ , la rotation de $\vb{\mu}$ peut être annulée. Plus généralement, dans un référentiel $\fref{R'}$ tournant à une vitesse $\vb{\Omega}$ collinéaire à $\vb{\Omega_0}$ , on peut écrire :

$\eval{\dv{\vb{\mu}}{t}}_{\fref{R'}} = \gamma \vb{\mu} \cross \vb{B_0} - \vb{\Omega} \cross \vb{\mu} = \gamma \vb{\mu} \cross \vb{B_0'}\textrm{,}$

où $\vb{B_0'} = \vb{B_0} + \flatfrac{\vb{\Omega}}{\gamma}$ est le champ magnétique perçu dans $\fref{R'}$ . Alors :

$\eval{\dv{\vb{\mu}}{t}}_{\fref{R'}} = \gamma \vb{\mu} \cross \vb{B_0'}\textrm{,}$

permet encore de dire que $\vb{\mu}$ décrit un cône autour du vecteur $\vb{B_0'}$ à la vitesse angulaire : $\vb{\Omega_0'} = - \gamma \vb{B_0'} = \vb{\Omega_0} - \vb{\Omega}$ . Mais si les deux vitesses angulaires sont égales, ce mouvement de précession est nul.

[3] fait une analogie avec un astronaute dans l’ISS qu’il faut comprendre.

Mouvement en présence d’un champ tournant

Lorsque l’on ajoute un champ $\vb{b_1} \parallel \vu{i} \perp \vu{z}$ fixe dans $\fref{R'}$ on peut écrire :

$\eval{\dv{\vb{\mu}}{t}}_{\fref{R'}} = \vb{0} + \gamma \vb{\mu} \cross \vb{b_1}\textrm{,}$

ce qui permet de dire que $\vb{\mu}$ décrit un cône autour de $\vb{b_1}$ à la vitesse angulaire $\vb{\Omega_1} = - \gamma \vb{b_1}$ .

Faire le schéma de [3] et prévoir une animation python.

L’application de ce champ pendant une durée $t = \frac{\flatfrac{\pi}{2}}{\Omega_1}$ va aligner $\vb{\mu}$ dans la direction $\vu{j}$ de sorte que le moment magnétique soit perpendiculaire à $\vu{B_0}$ .

Cette impulsion permet donc d’écarter le moment magnétique de sa position d’équilibre (le long de $\vu{z}$ ) vers une position orthogonale (le long de $\vu{j}$ ).

Mesure dans le plan du champ tournant

Dans le référentiel $\fref{R}$ du laboratoire, le moment magnétique se trouve maintenant dans le plan Oxy , et précesse autour de $\vu{z}$ . Une bobine parallèle à Oyz va pouvoir mesurer la composante selon $\vu{x}$ du champ magnétique créé par les variations sinusoïdales de $\vb{\mu}$ dans cette direction.

Mouvement des noyaux d’une population de molécules

Toute l’analyse en RMN est possible car le facteur gyromagnétique $\gamma^j$ d’un noyeau (donc sa fréquence de Larmor $\vb{\Omega}^j$ ) dépend de son environement électronique. Des atomes d’hydrogène $\ce{H}^j$ d’environements chimiques $\epsilon^j$ différents vont donc s’aligner dans Oxy et produire un champ mesurable par la bobine pour des vitesses de rotation de $\vb{b_1}$ différentes.

Le mouvement des moment magnétique des noyaux de fréquence de Larmor $\vb{\Omega}^j \neq \vb{\Omega}$ se calcule lui aussi.

Terminer avec le schéma de [3] et une animation.