LP05 : Lois de conservation en dynamique

Aristote pensait que pour qu’il y ait un mouvement, il fallait des forces. Newton à corrigé cela en disant que les forces sont là pour modifier le mouvement. L’erreur d’Aristote semble naturelle dans la mesure où, sur Terre, des forces « invisibles » dissipatives stoppent systématiquement les objets qui se déplacent.

Lois de conservation

On considère une particule en de quantité de mouvement $\vb{p}$ sur lesquels s’appliquent des forces de résultante $\vb{F}$ évoluant dans un référentiel galiléen dans lequel on place un repère fixe, d’origine . On définit le rayon vecteur : $r = \va{OM}$ .

Quantité de mouvement

La seconde loi de Newton énnonce que :

$\dv{\vb{p}}{t} = \vb{F}\textrm{.}$

Si le vecteur $\vb{F}$ est nul, alors la quantité de mouvement $\vb{p}$ est constante, on dit qu’elle est conservée. $\vb{F}$ peut être nul si aucune force ne s’exerce sur le système, ou si les forces qui s’y exercent se compensent. Autrement, pour $\vb{F} \neq \vb{0}$ , la seconde loi de Newton est en accord avec cette observation : les forces modifient le mouvement.

Moment cinétique

Sur coussin d’air barycentre et angle avec deux mobiles liés.

Le moment cinétique s’écrit :

$\vb{L}_O \defeq \vb{r} \cross \vb{p}\textrm{.}$

En dérivant cette écriture par rapport au temps on obtient :

$\dv{\vb{L_O}}{t} = \vb{r} \cross \vb{F}\textrm{.}$

Le moment cinétique est conservé si le produit vectoriel du membre de droite en nul, c’est-à-dire si :

$\left\{\vb{F} = \vb{0} \qq{ou} \vb{r} \parallel \vb{F}\right\} \iff \mathcal{M}_O(\vb{F}) = \vb{0}\textrm{.}$

Énergie mécanique

On considère le vecteur $\vb{r}(t)$ et le vecteur $\vb{r}(t + \dd t)$ , dont la différence donne le vecteur $\vb{\dd l} = \vb{v} \cdot \dd t$ .

Le travail des forces exercées sur la particule évoluant sur une trajectoire de à s’écrit :

$W = \int_A^B{\vb{F}\dotproduct\vb{\dd l}}\textrm{.}$

Cette première égalité semble indiquer un cas singulier puisque certaines forces peuvent s’exprimer sous la forme :

$\vb{F_c}(M) = -\grad E_p \iff \int_A^B{\vb{F_c} \vb{\dd l}} = \eval{E_p(M)}_A^B\textrm{.}$

Ces forces sont dites forces conservatives ou forces dérivant d’un potentiel. Nous examinerons leur cas dans un instant.

Reprenons :

$W = \int_A^B{\vb{F}\dotproduct\vb{\dd l}} = \int_A^B{\dv{\vb{p}}{t'} \dotproduct \vb{v} \dd t'} = \int_A^B{m \dv{\vb{v}}{t'} \dotproduct \vb{v} \dd t'} = \int_A^B{m \vb{v} \dotproduct \dd \vb{v}} = \eval{\frac{1}{2} m \vb{v}^2}_A^B = \Delta E_c\textrm{,}$

nous venons d’établir le théorème de l’énergie cinétique.

Notons désormais $\vb{F_c}$ la résultante des forces conservatives appliquées sur la particule $\vb{F_{nc}}$ la résultante des autres forces, et reprennons le calcul :

$W = \int_A^B{(\vb{F_c} + \vb{F_{nc}}) \dotproduct\vb{\dd l}} = -\int_A^B{\grad E_p \vb{\dd l}} + \int_A^B{\vb{F_{nc}} \vb{\dd l}} = -\Delta E_p + W_{nc}\textrm{.}$

Finalement,

$\Delta E_c = - \Delta E_p + W_{nc} \implies \Delta (E_m \defeq E_c + E_p) = W_{nc}$

Il vient qu’en l’abscence de forces non conservatives l’énergie mécanique est une grandeur conservée, l’appelation forces conservatives est ainsi justifiée.

Les forces non conservatives sont des forces qui vont modifier l’énergie mécanique de notre particule, elles peuvent être motrices si leur travail est positif : elles font gagner de la quantité de mouvement dans le cas contraire elles font perdre de la quantité de mouvement.

La différence fondamentale entre forces conservatives et forces non conservatives est que le travail des forces non conservatives pour un déplacement de à dépend du chemin suivi, alors que celui des forces conservatives n’en dépend pas. On donne comme bon exemple de force non conservatives les forces de frottements. Dans un véhicule elles sont compensées par des forces motrices générées par le moteur utilisant du carburant. Pour aller d’ici à la pièce voisine, la quantité de carburant consomée ne sera pas la même si j’y vais directement ou si je passe par Tokyo.

Intéret des lois de conservations

Les lois de conservations permettent de résoudre des problèmes de mécanique sans intégrer les équations du mouvement.

LP05 : Lois de conservation en dynamique

Lois de conservation

Quantité de mouvement

Moment cinétique

Énergie mécanique

Intéret des lois de conservations

Choc élastique

Pendule ballistique

Diffusion de Rutherford

Problème de Képler

Le pendule : portrait de phases sans calculs