LP06 : Cinématique relativiste

Origines de la relativité restreinte

Référentiel galiléen, principe de relativité

Dès 1687, le principe fondamental de la dynamique énonce par Newton permet de distinguer deux types de référentiels. Dans les référentiels galiléens le principe s’exprime sous sa forme la plus simple, alors que dans les autres il nécessite des termes correctifs. Son expression mathématique, couplée aux transformations de Galilée, permet d’affirmer que si un référentiel est galiléen, le principe fondamental de la dynamique s’applique dans tous les référentiels en translation rectiligne uniforme par rapport au premier. Autrement dit, les lois de la mécanique sont invariantes entre deux référentiels galiléens.

Cette dernière affirmation constitue le principe de relativité. Un autre principe, ou plutôt une hypothèse, si naturelle qu’on ne la précise jamais en mécanique, est la suivante : la durée perçue entre deux évènements, par deux observateurs dans deux référentiels différents, est la même.

La question de la propagation de la lumière

La propagation de la lumière à travers de nombreux milieux et notamment à travers le milieu interstellaire, posait un problème conceptuel aux physiciens jusqu’au 17e siècle. Pour harmoniser ce problème avec la propagation des ondes mécaniques l’idée d’un milieu de propagation appelé ether luminifère fut avancée. Ce milieu doit répondre à de nombreuses propriétés que nous n’étudions pas ici hormis celle de son mouvement par rapport à la matière : l’éther est-il entrainé ou non par la matière autour de laquelle il se trouve ?

Considérons une lampe (ou un hautparleur) au milieu d’un wagon de train, un observateur O_t dans le train et un observateur O_g sur le quai de la gare. À l’instant t = 0 la lampe (ou hautparleur) émet un signal vers l’avant et vers l’arrière et le train démarre. Peu de temps après, ce signal arrive sur les murs du wagon.

Ether entrainé par le train

L’observateur O_t va constater que les deux signaux arrivent en même temps après une durée mesurable. Puisque la durée perçue entre deux évènements par deux observateurs dans deux référentiels différents est la même, l’observateur O_g doit lui aussi constater que les deux signaux arrivent en même temps. Mais comme dans son référentiel les murs du train se déplacent, le signal allant vers l’avant aura parcouru une distance plus longue que celui allant vers l’arrière.

Dans le cas du signal sonore, nous expliquons ce phénomène simplement : la vitesse du son n’est pas la même dans les deux référentiels dans les deux directions, elle est liée à la vitesse de l’air qui se déplace avec le wagon.

Dans le cas du signal lumineux, nous pouvons avancer des hypothèses : oit la vitesse de la lumière est, elle aussi, liée au train, soit elle est infinie.

La première hypothèse ne correspond pas à l’observation dite d’aberration des étoiles.

$\software{./documents/stellarAberrationVersusTheDraggedAether.gif}$

La seconde hypothèse ne correspond pas aux expériences qui mettent en évidence une vitesse de la lumière finie (Rømer la mesure en 1675).

Ether immobile par rapport à la gare

Une autre explication au phénomène lumineux est qu’en fait, les signaux lumineux n’arrivent pas en même temps sur les murs du train ni pour O_t ni pour O_g . La vitesse de la lumière pourrait être liée à la gare. Pourquoi la gare ? Cette question restera sans réponses, car nous allons généraliser directement, en disant plutôt qu’il existe un référentiel dans lequel la vitesse de la lumière est la même dans toutes les directions, c’est le référentiel de l’éther.

Nous entrons en contradiction avec le principe de relativité qui ne distingue pas de référentiel galiléen particulier, mais tenons une hypothèse réfutable. Le Soleil et les autres étoiles sont manifestement immobiles entre eux, et l’aberration des étoiles indique que la Terre se déplace par rapport à l’éther. Il nous faut trouver une expérience qui permette de vérifier si la vitesse de la lumière mesurée sur Terre diffère entre la direction colinéaire à la vitesse de la Terre et la direction qui y est orthogonale.

L’expérience de Michelson et Morley [1]

$\url{http://www.feynmanlectures.caltech.edu/img/FLP\_I/f15-02/f15-02\_tc\_big.svgz}$

Si l’appareil est au repos dans l’éther, les temps mis par la lumière pour parcourir les chemins (BCB) et (BEB) doivent être égaux. Mais si l’appareil est en mouvement dans l’éther à la vitesse vers la droite, les temps mis pour parcourir les chemins (BC'B') et (BE'E) seront différents et nous observerons sur l’écran des interférences. (Les temps nécessaires à parcourir (AB) et (BD) ou (BF) sont identiques quelque soit l’état de mouvement.)

Soit $t_{BE'}$ le temps mis par la lumière pour aller de au miroir . Pendant que la lumière parcourt ce trajet, l’interféromètre se déplace dans l’éther d’une distance $u t_{BE'}$ de sorte que le mirroir se trouve en , la lumière parcourt donc la distance

$L + u t_{BE'} = c t_{BE'} \implies t_{BE'} = \frac{L}{c - u}\textrm{.}$

Pendant le chemin du retour (E'B') l’interféroèmtre avance encore de sorte que la lumière doit parcourir une distance

$L - u t_{E'B'} = c t_{E'B'} \implies t_{E'B'} = \frac{L}{c + u}\textrm{.}$

Finalement,

$t_{BE'B'} = \frac{\flatfrac{2L}{c}}{1 - \flatfrac{u^2}{c^2}}\textrm{.}$

Concernant le trajet de la lumière sur l’axe vertical du schéma, la question de pose de savoir si la lumière va « rater » ou non le centre du miroir . Nous savons que dans un référentiel galiléen la lumière ne le raterait pas, le principe de relativité nous permet donc de conclure que dans le référentiel de la Terre en mouvement rectiligne uniforme dans l’éther, la lumière ne rate pas non plus le centre du miroir. La lumière va parcourir un trajet oblique sur le schéma.

Soit alors $t_{BC'}$ le temps mis par la lumière pour aller de au miroir , comme avant, pendant que la lumière parcourt ce trajet le miroir avance jusqu’en (distance $u t_{BC'}$ ). Nous avons un triangle rectangle où le théorème de Pythagore s’applique :

$(c t_{BC'})^2 = L^2 + (u t_{BC'})^2 \implies t_{BC'} = \frac{L}{\sqrt{c^2 - u^2}}\textrm{.}$

La distance C'B' est la même, alors $t_{C'B'} = t_{BC'}$ et :

$t_{BC'B'} = \frac{\flatfrac{2L}{c}}{\sqrt{1 - \flatfrac{u^2}{c^2}}}\textrm{.}$

Cette expérience réalisée par Michelson et Morley doit donc permettre de mettre en évidence le mouvement de la Terre à travers l’éther via le déphasage des ondes lumineuses introduit par la différence de marche :

$\delta = c \Delta t = c (t_{BE'B'} - t_{BC'B'}) \approx \frac{Lu^2}{c^2}\textrm{.}$

Les deux physiciens réalisèrent l’expérience deux fois (1881 et 1889) avec des interféromètres dont les bras mesuraient $L_1 = \SI{1}{\meter}$ , ( $L_2 = \SI{10}{\meter}$ ), ils s’attendaient donc à une différence de marche de $\delta_1 \approx \SI{10}{\nano\meter}$ ( $\delta_2 \approx \SI{100}{\nano\meter}$ ) soit un déphasage :

$\Delta \phi_1 = 2 \pi \frac{\delta_1}{\lambda} \approx \SI{0.12}{\radian} \qq{et} \Delta \phi_2 \approx \SI{1.2}{\radian}\textrm{.}$

Ces déphasages doivent être observables.

$\software{./python/michelson-morley-anim.py}$

Mais Michelson et Morley n’observèrent pas ce qu’ils attendaient : l’expérience n’indiquait aucune interférence, aucune différence de temps et la vitesse de la Terre au travers de l’éther ne put être mise en évidence.

La force de Lorentz et les équations de Maxwell

Deux autres problèmes du même type existaient. D’une part, les équations de Maxwell s’expriment :

$\qty(\frac{1}{c^2}\pdv[2]{t} - \grad^2) \vb{E} = \vb{0} \qq{et} \qty(\frac{1}{c^2}\pdv[2]{t} - \grad^2) \vb{B} = \vb{0}\textrm{.}$

La vitesse de la lumière apparaît clairement dans ces équations, sans qu’a aucun moment la question du référentiel d’étude ne soit soulevée.

D’autre part, la force de Lorentz s’exprime, dans le principe fondamental de la dynamique :

$\vb{F} = m \vb{a} = q \qty(\vb{E} + \vb{v} \cross \vb{B})\textrm{,}$

or dans cette expression, l’accélération $\vb{a}$ ne dépend pas du référentiel galiléen choisit alors que la vitesse $\vb{v}$ en dépend.

C’est Lorentz qui en cherchant à résoudre ces deux problèmes, fondra les bases mathématiques sur lesquelles la théorie d’Einstein va reposer.

Einstein pose les principes de la relativité restreinte

Les idées en physiques étaient coincées, l’hypothèse de l’éther était manifestement en désaccord avec les expériences. La vitesse de la lumière semblait ne pas dépendre du référentiel d’observation, ce qui entre en contradiction avec le principe de relativité et les transformations de Galilée.

Justement, Lorentz qui cherchait à résoudre les problèmes discutés plus haut, calcula quels types de transformations étaient nécessaire à garder les équations de Maxwell et la force de Lorentz invariantes par changement de référentiel. Ces transformations, que nous allons étudier maintenant, eurent du mal à être acceptées en raison des paradoxes qu’elles soulèvent. Mais Einstein eu l’audace de les accepter malgré tout.

Il posa des nouveaux principes, les principes de la relativité restreinte :

La vitesse de la lumière, dans le vide, est la même dans tous les référentiels galiléens.
Toutes les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels galiléens.

L’acceptation de ces principes est équivalente à l’acceptation des transformations de Lorentz.

Les transformations de Lorentz

Contraintes imposées par les deux postulats [2]

Objectif de rendre invariantes les équations de Maxwell. Distance parcourue par un rayon dans deux référentiels donnent la transformation de Lorentz.

Conséquences [2]

Perte de la simultanéité ; invariance de l’intervalle (définition, genre, cône de lumière), dilatation du temps, contraction des longueurs : calcul du temps de vie des muons.