LP07 : Dynamique relativiste

Outils de la dynamique relativiste

Quadrivecteur énergie-impulsion

On aura vu, en cinématique relativiste, qu’un évènement doit être repéré par un quadrivecteur position $\vq{X} = (ct, x, y, z)$ et que la vitesse d’un point dans un référentiel $\fref{R}$ doit s’exprimer comme $\vq{V} = \dv{\vq{X}}{\tau}$ avec $\tau$ le temps propre perçu par ce point dans son référentiel $\fref{R_0}$ .

L’outil de base de la dynamique newtonienne est le principe fondamental de la dynamique

$\dv{\vb{p}}{t} = \vb{F}\textrm{,}$

si l’on veut étudier des mouvements en mécanique relativiste, il va être nécessaire d’adapter le principe pour le rendre invariant lors d’un changement de référentiel selon les transformations de Lorentz, de manière à vérifier le principe de relativité. La mécanique classique repose également sur la conservation de l’énergie pour laquelle on peut écrire :

$\dd E = \vb{F} \vb{v} \dd t\textrm{.}$

Nous allons utiliser le formalisme des quadrivecteurs et sommes soumis à quelques contraintes :

À basse vitesse, nous devons retrouver la mécanique classique.
La nouvelle équation doit être invariante par transformations de Lorentz.
Les grandeurs conservées en mécanique classique ( et ) doivent être conservées.

Nous partons des relations précédentes :

$\dv{\vb{p}}{t} = \vb{F} \qq{et} \dd E = \vb{F} \vb{v} \dd t\textrm{,}$

qui ensemble donnent :

$\dd E = \dv{\vb{p}}{t} \vb{v} \dd t \implies \frac{\dd E}{c} c \dd t - \dd \vb{p} \dd \vb{r} = 0\textrm{.}$

On reconnaît ici la norme dans l’espace de Minkowski d’un quadrivecteur s’écrivant :

$\vq{P} = (\flatfrac{E}{c}, \vb{p})\textrm{.}$

Nous l’appellerons quadrivecteur énergie-impulsion. La norme au carré du quadrivecteur s’écrit et vaut :

$\norm{\vq{P}}^2 = m^2 c^2 = \frac{E^2}{c^2} - \vb{p}\dotproduct\vb{p}\textrm{.}$

On remarque que, étant donné le caractère d’invariant relativiste de la norme, la masse est, elle aussi, un invariant relativiste. En outre, on tire une expression pour l’énergie :

$E^2 = m^2 c^4 + \vb{p}^2 c^2\textrm{.}$

Enfin, la question des particules sans masse se pose :

$\vq{P_{\mathrm{photon}}} = (\flatfrac{E}{c}, \vb{p}) \qq{d'où} \qty(\frac{E}{c})^2 - \vb{p}\dotproduct\vb{p} = 0 \implies E = c p\textrm{.}$

Remarquons que :

Dans la limite de la mécanique classique, pour $v \ll c$ , la partie spatiale de $\vq{P}$ correspond à l’impulsion de la mécanique de Newton $\vb{p} = m\vb{v}$ .
Pour une particule au repos, on écrit autrement dit, même au repos, la particule porte une énergie.

Conservations et d’invariances en dynamique relativiste

La norme d’un quadrivecteur est un invariant relativiste. Par ailleurs, la conservation de l’énergie et la conservation de la quantité de mouvement, vont être utile dans plusieurs problèmes. Il va se trouver que beaucoup de problèmes peuvent déjà être résolus avec ces deux seules propriétés.

Utilisation de la dynamique relativiste

Effet Compton (1927)

L’expérience de Compton consiste envoyer un photon (en rayons X) sur un électron dans un collisionneur, et d’observer ce qui en ressort. Un détecteur de photons et un détecteur d’électrons permettent de réaliser l’expérience.

Faire un schéma !

Puisque les composantes du quadrivecteur sont conservées, écrivons les (après avoir multiplité par ) :

$\left\{ \begin{array}{lclclcl} \hbar \omega &+& m c^2 &=& \hbar \omega' &+& E' \\ \hbar \omega &+& 0 &=& \hbar \omega' \cos\theta &+& p' c \cos\phi \\ 0 &+& 0 &=& \hbar \omega' \sin\theta &-& p' c \sin\phi \\ 0 &+& 0 &=& 0 &+& 0 \\ \end{array} \right.\textrm{.}$

On en déduit :

$(p'c)^2 = (\hbar\omega - \hbar\omega'\cos\theta)^2 + (\hbar\omega'\sin\theta)^2\textrm{,}$

et avec E'^2 = m^2 c^4 + (p'c)^2 , les calculs vont donner, avec $\omega = \flatfrac{2 \pi c}{\lambda}$ :

$\lambda' - \lambda = \frac{\hbar}{mc} (1 - \cos\theta)\textrm{.}$

Ce qui est vérifié expérimentalement par Compton pour toutes les valeurs de $\theta$ . Lors du choc le photon cède une partie de son énergie à l’électron.

Topographie par émission de positrons (PET-Scan)

Un pan de la médecine nucléaire repose sur la collision entre une particule (électron) et son antiparticule (positron).

On injecte au patient un traceur radioactif. Il s’agit d’une molécule dont le premier rôle va être de se fixer sur les tissus que l’on souhaite imager : les cellules cancéreuses par exemple consomment beaucoup de glucose, alors une molécule qui en est biologiquement proche sera captée par ces cellules (et va s’y accumuler, car n’est pas consommable). Ensuite, l’imagerie repose sur la détection à distance de la position des traceurs grâce à leur radioactivité. Le fluorodesoxyglucose marqué au fluor 18 est radioactif de type $\beta^+$ , lorsqu’il se désintègre, le fluor donne de l’oxygène 18, un positron et un neutrino électronique ( $p^+ \rightarrow n + e^+ + \nu_e$ ).

Lorsqu’il rencontre un électron des tissus organiques avoisinants (distance de l’ordre du millimètre), le positron va s’annihiler avec l’électron et produire deux photons gamma, capables de traverser le corps humain, qui partent dans la même direction, mais le sens opposé. Les deux photons, ensemble, permettent, par mesure du temps mis à rejoindre les détecteurs, de déterminer précisément la position de la désintégration et donc, de la cellule cancéreuse.