LP08 : Notion de viscosité d’un fluide, écoulement visqueux

Niveau : PC

Prérequis :

Statique des fluides
Cinématique des fluides
Dérivée particulaire et terme convectif

Dans cette leçon, nous étudions une partie de la dynamique des fluides.

Introduction : expérience illustrative [1]

Considérons un fluide initialement au repos entre deux cylindres que l’on met en mouvement à des vitesses de rotations différentes à l’instant t=0 . Nous écrivons de manière qualitative un bilan de forces exercées sur une particule fluide pour prévoir sa dynamique avec la seconde loi de Newton. Nous connaissons :

les forces de pression, $\vb{f_p} = - \grad P \dd \tau$ ,
les forces volumiques (dont fait partie le poids), $\vb{f_v} \dd \tau$ .

Une écriture volumique du principe fondamental de la dynamique est :

$\rho \dv{\vb{v}}{t} = - \grad P + \vb{f_v}\textrm{.}$

Écoulement de Couette cylindrique

L’expérience met en évidence un phénomène que nous n’avons pas prévu : le fluide a été mis en mouvement autour de l’axe vertical, alors que nous n’y appliquons aucune force volumique. Nous pouvons observer plusieurs points :

le fluide a été mis en mouvement de proche en proche,
le fluide au contact de la paroi mobile se déplace à la même vitesse que cette dernière.

Il semble juste d’en déduire qu’il existe une force tangentielle, assimilable à des frottements, entre les couches cylindriques de fluide. Cette force manque dans notre description précédente, elle va être caractérisée par une propriété du fluide appelée viscosité.

Notion de viscosité [2]

Force de viscosité

Nous allons décrire cette viscosité avec un modèle d’expérience similaire à celle présentée, mais plus simple à mettre en équation.

$\software{./python/ecoulement\_couette.py}$

L’intérêt de l’expérience étudiée ici est la géométrie qui permet l’utilisation naturelle d’un repère cartésien. L’intérêt du dispositif cylindrique est l’absence de bords.

On considère un fluide homogène incompressible (en fait il suffit d’un écoulement incompressible, à température fixe) maintenu entre deux plaques horizontales, solides, planes et parallèles perpendiculaires à $\vu{y}$ séparées d’une distance . La plaque du bas est fixe dans le référentiel d’étude, alors que la plaque du haut est animée d’une vitesse $\vb{v} = \vcst$ selon $\vu{x}$ : elle va entrainer le fluide. On suppose le champ de pression uniforme et une invariance du problème par translation selon $\vu{z}$ . On étudie le problème en régime stationnaire établi suite à un temps de régime transitoire.

Vu les symétries et invariances le champ de vitesses va s’écrire comme :

$\vb{v}(x, y, z) = v_x(x, y) \vu{x}\textrm{.}$

On considère dans ce fluide deux particules (point de vue de Lagrange) situées l’une au-dessus de l’autre ; notre expérience a montré qu’il existait entre ces particules une force tangentielle au déplacement. On admet (en PC) que la force exercée par la particule du haut sur la particule du bas dite force de viscosité s’exprime comme :

$\dd \vb{F}_{h \rightarrow b} = \eta \pdv{v_x}{y} \dd S \vu{x} \qq{et évidemment :} \dd \vb{F}_{b \rightarrow h} = - \dd \vb{F}_{h \rightarrow b} = - \eta \pdv{v_x}{y} \dd S \vu{x}\textrm{.}$

Cette expression est empirique, mais on peut réfléchir à sa signification :

la force augmente si la différence de vitesse entre les deux particules est plus grande,
la force augmente pour des particules de surface plus importante,
si la différence de vitesse selon $\vu{y}$ change de sens la force change de sens,
si les deux particules ont la même vitesse la force est nulle,
le coefficient $\eta$ est un coefficient de proportionnalité entre la force les deux autres paramètres,

Ce coefficient $\eta$ est caractéristique du fluide et appelée viscosité dynamique, son unité est le pascal seconde (symbole $\si{\pascal\second}$ ) historiquement appelé poiseuille. On peut donner des ordres de grandeur pour $\eta$ , mais ce coefficient dépend de la pression et de la température.

Fluide	Viscosité dynamique $\si{\pascal\second}$
Air	1.8e-5
Eau	1.0e-3
Glycérine	0.80

Graphe $\eta_{\textrm{eau}}(T)$ : http://gpip.cnam.fr/ressources-pedagogiques-ouvertes/hydraulique/res/viscositeEau_vs_T.png

Équivalent volumique de la force de viscosité

On connait maintenant la force exercée par une particule sur une autre particule. Dans le fluide sous cette description en géométrie cartésienne, chaque particule de fluide est en contact avec 6 autres particules, cherchons alors à réexprimer le bilan des forces de viscosité exercées sur celle du centre.

Si l’on considère une particule fluide en forme de pavé droit comprise dans un volume $\dd x \dd y \dd z$ , elle est soumise aux forces de viscosité de la part de ses voisines en et $y + \dd y$ . Ces forces s’expriment :

$\dd \vb{F}(y) = - \eta \pdv{v_x}{y}(y) \dd x \dd z \vu{x} \qq{et} \dd \vb{F}(y + \dd y) = \eta \pdv{v_x}{y}(y + \dd y) \dd x \dd z \vu{x}\textrm{,}$

leur somme donne :

$\dd \vb{F}(y) + \dd \vb{F}(y + \dd y) = \eta \pdv[2]{v_x}{y} \dd y \dd x \dd z \vu{x} = \eta \pdv[2]{v_x}{y} \dd \tau \vu{x} \defeq \dd \vb{f} \dd \tau\textrm{,}$

pour les écoulements à 3 dimensions, on généralise cette expression de la force volumique de viscosité avec le laplacien :

$\dd \vb{f} = \eta \laplacian\vb{v}\textrm{.}$

En écrivant $\rho \Dv*{\vb{v}}{t} = \eta \laplacian \vb{v}$ on trouve l’équation de diffusion de quantité de mouvement : $\pdv*{v}{t} = \flatfrac{\eta}{\rho} \laplacian \vb{v}$ .

Dynamique des fluides

Équation de Navier-Stokes

L’équation de Navier-Stokes résulte du principe fondamental de la dynamique appliqué à la particule fluide, pour un fluide newtonien en écoulement incompressible ; on l’admet en classe de PC :

$\rho \qty(\pdv{\vb{v}}{t} + \underbrace{(\vb{v}\grad)\vb{v}}_{\textrm{conv}}) = - \grad{P} + \underbrace{\eta \laplacian \vb{v}}_{\textrm{diff}} + \vb{f}_v\textrm{.}$

Lire [2] (chap. 15, 2.2, p. 400) pour la signification des deux termes mis en évidence ici.

Les deux termes convectif et diffusif qui apparaissent dans l’équation la rendent difficile à résoudre en effet, le premier la rend dépendante de v^2 et le second la rend dépendante d’une dérivée seconde.

Cette équation n’admet pas de solutions analytiques (problème du millénaire). Pour poursuivre notre étude de la dynamique des fluides, nous allons chercher à mieux la comprendre pour pouvoir négliger l’un ou l’autre de ces termes.

Caractérisation des écoulements

On décide de caractériser l’écoulement par le rapport, appelé nombre de Reynolds :

$\mathrm{R_e} = \frac{\textrm{conv}}{\textrm{diff}} = \frac{\norm{\rho (\vb{v}\grad)\vb{v}}}{\norm{\eta\laplacian\vb{v}}}\textrm{,}$

on peut estimer en ordres de grandeur que :

$\rho (\vb{v}\grad)\vb{v} \propto \frac{\rho U^2}{L} \qq{et} \eta\laplacian\vb{v} \propto \eta \frac{U}{L^2}\textrm{,}$

d’où pour le nombre de Reynolds :

$\mathrm{R_e} = \frac{\rho U L}{\eta}\textrm{.}$

Si $\mathrm{R_e} \ll 1$ le terme convectif est dominant, alors que dans le cas contraire le terme diffusif est dominant. Cette caractérisation peut sembler arbitraire, mais on remarque expérimentalement que les écoulements à bas $\mathrm{R_e}$ ( < 2000 ) sont toujours laminaires, alors que les écoulements à haut $\mathrm{R_e}$ ( > 2000 ) sont toujours turbulents.

Donner des ordres de grandeur et parler de possibles transitions entre les régimes ([2] chap. 15, 3.4, p. 405).

Montrer des images d’écoulements laminaires et turbulents.

Dans le cadre de cette leçon qui porte sur la viscosité nous allons continuer avec des écoulements pour lesquels le nombre de Reynolds est bas.

Écoulement de Poiseuille [2]

Il s’agit d’un écoulement qui présente une importance particulière en ingénierie puisqu’il décrit l’écoulement de fluides dans des conduites.

Profil de vitesse

Perte de charge, chute de pression

Particulièrement en avant dans le BO de PSI.

Ensuite…

Dans la suite ce cette leçon, nous pouvons étudier d’autres géométries d’écoulements. En particulier, les écoulements qui se font autour d’un obstacle. On pourra alors parler de la force de trainée, qui est la résultante des forces de viscosité exercées par le fluide sur l’obstacle. La chute d’une bille dans un milieu visqueux est un bel exemple qui permet de mesurer la viscosité du fluide. Suite à cette leçon, nous pourrons introduire la notion d’écoulement parfait pour lequel les phénomènes associés à la viscosité sont négligeables. On introduira alors la notion de couche limite zone dans laquelle la viscosité n’est justement pas négligeable. L’équation d’Euler qui décrit les écoulements parfaits permettra d’arriver aux équations de Bernoulli qui permettent d’expliquer le fonctionnement de dispositifs comme le débitmètre de Venturi, ou le tube de Pitot.