LP14 : Machines thermiques réelles

Une machine thermique est un système qui permet de convertir de l’énergie entre les formes thermique et mécanique. Dans une machine thermique, un fluide parcourt un chemin cyclique au cours duquel il subit plusieurs transformations thermodynamiques. Ces transformations ont lieux dans différentes parties de la machine, il peut s’agir d’échanger de l’énergie thermique avec une source chaude ou froide ou de l’énergie mécanique avec une turbine ou une pompe.

Faire attention à la différence entre efficacité et rendement.

Situation

On étudie une machine thermique cyclique ditherme, dont le fluide échange l’énergie thermique massique q_c avec une source chaude, l’énergie thermique massique q_f avec une source froide, le travail massique avec un système extérieur. Suite à l’écriture des premier et second principe sur un cycle, l’inégalité de Clausius donne :

$\frac{q_c}{T_c} + \frac{q_f}{T_f} \leq 0\textrm{.}$

Le diagramme de Raveau permet de distinguer quatre classes de machines thermiques, d’utilité différente :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Diagramme_de_Raveau.png

I : , , $\rightarrow$ moteur
II : , , $\rightarrow$ système de refroidissement
III : , , $\rightarrow$ sans intérêt
IV : , , $\rightarrow$ réfrigérateur

Nous allons nous intéresser à deux d’entre eux :

Les moteurs sont des machines qui produisent du travail utilisable ().
Les réfrigérateurs (ou pompe à chaleur) sont des machines qui transfèrent de l’énergie thermique d’une source froide () vers une source chaude (), pour refroidir la source froide ou réchauffer la source chaude.

Moteur : cycle de Rankine

L’étude d’un cycle sans combustion se prête bien à une première découverte des machines thermiques réelles, puisqu’il n’y a pas de difficulté concernant la modélisation des sources chaude et froide.

Le cycle de Rankine est utilisé dans le circuit d’eau secondaire des centrales nucléaires pour produire l’énergie électrique.

Cycle de fonctionnement

Le cycle se compose de quatre transformations :

1 : L’eau qui sort du condenseur est liquide, sous la pression saturante à la température .
$1 \rightarrow 2$ : Dans la pompe, l’eau liquide subit une petite augmentation de pression adiabatique réversible, sa température et sa pression ne varient quasiment pas.
$2 \rightarrow 3$ : L’eau passe dans la chaudière, sa température augmente jusqu’à sa température d’ébullition sous , puis elle s’évapore complètement de manière isobare.
$3 \rightarrow 4$ : Dans la turbine, la vapeur d’eau subit une détente adiabatique réversible jusqu’à et , une partie de l’eau se liquéfie.
$4 \rightarrow 1$ : Dans le condenseur, la vapeur d’eau restante se liquéfie de manière isobare sous la pression .

$\begin{figure}[H] \begin{tikzpicture} \node[draw=black] (pompe) at (0, 2) {Pompe}; \node (pompe-in) at (-2, 2) {$W_{p} > 0$}; \draw[->] (pompe-in) -- (pompe); \node (s1) at (0, 0) {\shortstack{Liquide \\$P_1 = P_{sat}(T_1)$}}; \node[draw=black] (chaudiere) at (4, 4) {Chaudière}; \node (chaudiere-in) at (4, 5) {$Q_c > 0$}; \draw[->] (chaudiere-in) -- (chaudiere); \node (chaudiere-tr) at (4, 3) {\shortstack{Chauffage isobare\\puis vaporisation}}; \node (s2) at (0, 4) {\shortstack{Liquide \\$P_2 > P_1$}}; \node[draw=black] (turbine) at (8, 2) {Turbine}; \node (turbine-out) at (10, 2) {$W_t < 0$}; \node (machine-out) at (12, 2) {$W < 0$}; \draw[->] (turbine) -- (turbine-out) -- (machine-out); \node (s3) at (8, 4) {\shortstack{Vapeur \\$P_3 = P_2 = P_{sat}(T_3)$}}; \node[draw=black] (condenseur) at (4, 0) {Condenseur}; \node (condenseur-out) at (4, -1) {$Q_f < 0$}; \draw[->] (condenseur) -- (condenseur-out); \node (consenseur-tr) at (4, 1) {\shortstack{Liquéfaction}}; \node (s4) at (8, 0) {\shortstack{Diphasé \\$P_4 = P_1$\\ $T_4 = T_1$}}; \draw (s1) -- (pompe) -- (s2) -- (chaudiere) -- (s3) -- (turbine) -- (s4) -- (condenseur) -- (s1); \draw[->] (turbine-out) -- (10, -2) -- (-2, -2) -- (pompe-in); \end{tikzpicture} \end{figure}$

On s’intéresse à décrire ce cycle dans un diagramme (T, s) puis dans un diagramme (P, v) . Ils nous permettront de confronter ce cycle au cycle de Carnot.

Diagramme entropique

Dans le diagramme (T, s) les isothermes sont des droites horizontales les isenthalpiques sont des droites verticales. Puisque pour une transformation isobare $\dd s = \frac{c_P}{T}\dd T$ , alors :

$s(T) = \int{\frac{c_P}{T}\dd T} = c_p \ln(\frac{T}{T_0}) \qq{d'où} T \propto \exp(\frac{s}{c_P})\textrm{,}$

les isobares sont des exponentielles. Connaissant les températures $T_1 = \SI{30}{\degreeCelsius}$ et $T_2 = \SI{300}{\degreeCelsius}$ , on peut tracer le cycle :

$\software{./documents/rankine\_eau.svg}$

Diagramme de Clapeyron

Efficacité

Efficacité de Carnot

Pour le circuite secondaire d’une centrale nucléaire :

$\eta_C = \abs{\frac{W}{Q_c}} = 1 - \frac{T_f}{T_c} = 1 - \frac{\SI{30}{\degreeCelsius}}{\SI{300}{\degreeCelsius}} = 0.47$

Efficacité réelle

$\eta = \abs{\frac{w}{q_c}} = \abs{\frac{w_t - w_p}{q_c}}$

Du premier principe on obtient :

$\begin{align*} w_p &= \Delta_{1 \rightarrow 2} h = h_2 - h_1 \approx 0\\ q_c &= \Delta_{2 \rightarrow 3} h = h_3 - h_2 \approx h_3 - h_1\\ w_t &= \Delta_{3 \rightarrow 4} h = h_4 - h_3 \end{align*}$

Pour un circuit à eau, il est facile de trouver des valeurs tabulées d’enthalpie massique à pression et température données, on peut d’ailleurs lire des valeurs approchées sur le diagramme entropique présenté. Le tableau suivant regroupe les valeurs utiles issues de [1].

Température ( $\si{\degreeCelsius}$ )	Pression ( $\si{\kilo\pascal}$ )	Enthalpie ( $\si{\kilo\joule\per\kilo\gram}$ )
Température ( $\si{\degreeCelsius}$ )	Pression ( $\si{\kilo\pascal}$ )	Liquide sat.	Évap.	Vapeur sat.
30	42	125.8	2430.5	2556.3
300	8581	1344.0	1404.9	2749.0

On lit : $h_1 = \SI{125.8}{\kilo\joule\per\kilo\gram}$ , $h_3 = \SI{2749.0}{\kilo\joule\per\kilo\gram}$ . La détermination de h_4 nécessite un calcul supplémentaire, puisque l’eau est dans un état biphasé en ce point. Sur le diagramme, on peut lire $x_4 = \num{0.65}$ , donc :

$h_4 = x_4 h_{liq} + (1 - x_4) h_{vap} = \SI{976.5}{\kilo\joule\per\kilo\gram}\textrm{.}$

Finalement,

$\eta = \num{0.37} \qq{et} r = \frac{\eta}{\eta_C} = \num{0.88}$

Le réfrigérateur [2]

Cycle de fonctionnement

Faire le schéma technique avec les pièces, se référer au schéma fait lors de la présentation de cette leçon, qui était très bien.

Le fluide frigorigène suit un circuit comportant :

Un compresseur dans lequel il reçoit du travail sans échange thermique.
Un condenseur dans lequel il est en contact avec la source chaude ( $T_c = \SI{20}{\degreeCelsius}$ ).
Un détendeur dans lequel il ne reçoit ni travail ni énergie thermique.
Un évaportaeur dans lequel il est en contact avec la source froide ( $T_f = \SI{-5}{\degreeCelsius}$ ).

Trouver un fluide réel, faire le cycle dans plusieur diagrammes, peut être dans python.

Efficacité de Carnot

Établir et discuter le sens physique de $\eta_C = \frac{T_f}{T_c - T_f}$ , ( $\eta$ diminue avec T_f , et $T_f \rightarrow T_c \implies \eta \rightarrow \inf$ ). Puis donner un odre de grandeur à et .

Efficacité réelle

Le diagramme enthalpique (T, H) permet de la lire facilement.