LP18 : Phénomènes de transport

Niveau : PSI, mais attention il manque des choses

Prérequis :

Thermodynamique
Loi d’Ohm locale

Tubes de métaux plongés dans un bain thermostaté à l’une des extrémités. On relève la température à l’autre bout, après un temps donné. Elle change pour chaque métal.

Reprendre cette leçon en détaillant un peu plus l’établissement de l’équation de conservation. Regarder [1].

La thermodynamique permet de déterminer la température d’un système dans un état d’équilibre, mais elle ne nous renseigne pas sur l’évolution temporelle entre ces deux états.

Dans cette leçon on se place hors équilibre pour étudier l’évolution des systèmes. Les phénomènes de transport découlent d’une inhomogénéité globale des grandeurs intensives qui génèrent des flux (de charges, particules, chaleur, ).

Goutte d’encre dans l’eau ou dans un papier absorbant.

Généralités

Différents types de transports

Conduction : transfert d’énergie sans déplacement macroscopique de matière (cas de la manip introductive)
Convection : transfert d’énergie avec déplacement macroscopique de matière (vent, eau des radiateurs)
Rayonnement : transfert d’énergie sans support matériel (sensation de chaleur au Soleil, près du feu)

Nous allons nous limiter aux phénomènes de conduction d’énergie thermique, illustrés par l’une des deux expériences introductives.

Équilibre thermodynamique local et équation de conservation

Dans un milieu hors équilibre, on ne peut pas définir toutes les grandeurs intensives à l’échelle macroscopique. Dans les barreaux de la manip d’exemple, il n’est pas possible de définir une température. La modélisation se fait alors par découpage de l’espace en petits éléments mésoscopiques dont la taille doit être assez faible pour que les grandeurs y soient homogènes, mais assez grande pour qu’elles aient un sens : elle doit être grande devant la distance caractéristique inter-particulaire (liquide $\SI{0.1}{\nano\metre}$ , gaz $\SI{0.1}{\micro\metre}$ ).

L’application du premier principe (loi de conservation de l’énergie) à un élément mésoscopique va s’écrire :

$\dd H = \delta Q = - \dd t \oint_S j_{th} \dd S + \delta Q_c = - \dd t \iiint_V \div\vb{j_{th}} \dd^3\vb{r} + \delta Q_c \\\textrm{,}$

or :

$\dd H = \iiint_V \qty[h(t+\dd t) - h(t)] \dd^3\vb{r} = \iiint_V \pdv{h}{t} \dd^3 \vb{r}\textrm{,}$

donc on obtient :

$\pdv{h}{t} + \div\vb{j_{th}} = P_c\textrm{,}$

enfin, puisque $\pdv{h}{t} = \pdv{h}{T}\pdv{T}{t} = \rho c \pdv{T}{t}$ alors on peut écrire une équation de conservation de l’énergie thermique :

$\pdv{T}{t} + \frac{1}{\rho c}\div\vb{j_{th}} = P_c\textrm{.}$

Parler de P_c .

De la conservation à la diffusion

Lois phénoménologiques

Pour l’énergie thermique, la loi de Fourier est valable pour des gradients de température assez faibles dans les milieux isotropes et donne une expression de la densité de courant :

$\vb{j_{th}} = - \lambda \grad T\textrm{.}$

On remarquera le signe qui provient du second principe : l’énergie thermique va des zones de températures plus élevées vers celles de températures plus faibles. Le coefficient de conductivité thermique $\lambda$ s’exprime en $\si{\watt\per\meter\per\kelvin}$ , il prend des valeurs de l’ordre de $\num{e-2}$ pour les gaz $\num{e-1}$ pour les liquides $\num{e0}$ pour les solides.

Donner les valeurs pour les matériaux utilisés dans la manip, pour l’eau, pour l’air et un isolant du bâtiment (polystyrène). Penser à citer un exemple de bon conducteur thermique, mais mauvais conducteur électrique.

La loi de Fourier est analogue à la loi d’Ohm locale : $\vb{j_{el}} = - \sigma \grad V$ en électrocinétique ou à la loi de Fick : $\vb{j_p} = - \gamma \grad n$ pour les particules.

Équation de diffusion

En remplaçant la densité de courant dans l’équation de conservation, nous obtenons l’équation de diffusion :

$\pdv{T}{t} - \frac{\lambda}{\rho c} \laplacian T = 0\textrm{.}$

On introduit le coefficient de diffusion $D = \flatfrac{\lambda}{\rho c}$ rapport de $\lambda$ la capacité du matériau à conduire l’énergie thermique par $\rho c$ la capacité du matériau à emmagasiner l’énergie thermique. On remarquera le caractère irréversible de cette équation. On pourra établir une longueur caractéristique de diffusion : $l = \sqrt{D \tau}$ .

Chercher et rédiger (ou pas) un modèle microscopique dans le cas des gaz parfaits (voir leçon présentée).

Exemple d’application : isolation et double vitrage

Faire un calcul de la puissance nécessaire pour maintenir un local à température fixée, dans le cas d’un simple vitrage d’épaisseur ou d’un double vitrage d’épaisseur e + e + e . On pourra introduire l’analogue de la résistance électrique et compléter l’analogie.

Il est peut-être mieux de trouver un exemple où des sources d’énergie existent ou bien étudier la propagation d’ondes de chaleur dans les sols (BUP juin et dec 2002).