LP19 : Bilans thermiques : flux conductif, convectif et radiatif

Niveau : Cette leçon se situe à la limite extérieure du programme de seconde année de CPGE, puisque les phénomènes d’échange radiatifs vont être étudiés et pris en compte.

Prérequis :

Conduction, convection, rayonnement
Loi de Fourier
Équation de la diffusion thermique

L’objet de cette leçon est d’étudier les phénomènes de transferts thermiques en proposant une unification de la modélisation, qui permettra de résoudre un problème qui peut sembler complexe à première vue : on étudiera les économies en énergie réalisables grâce à l’installation d’un double vitrage en tenant compte des trois modes d’échanges.

L’application est au cœur de la leçon !

Reprendre cette leçon en axant la discussion sur une optique d’économie d’énergie, on peut commencer en parlant du double vitrage. Bien penser à discuter les expressions des résistances : comment bien isoler ?

Ajouter des ordres de grandeur et penser à discuter des unités : du flux, des coefficients, des constantes, etc.

Avoir en tête des ordres de grandeur pour les conductivités des gaz, des liquides, des solides.

Connaître la constante de Stefan-Boltzmann.

Savoir d’où vient le coefficient de convection : lié à la conduction dans la couche limite, dépend de $\lambda$ du fluide (mais pas de la paroi). En ordre de grandeur $\delta = \flatfrac{h}{\lambda}$ .

Notion de résistance thermique : étude de la conduction

Vecteur densité de courant thermique

L’équation de la diffusion thermique à une dimension

$\pdv{T}{t} - \frac{\lambda}{\rho c} \pdv[2]{T}{x} = 0\textrm{,}$

se retrouve à partir d’un bilan d’énergie thermique sur une portion infinitésimale d’un corps homogène de section droite dans lequel il n’y a aucune source d’énergie, la température ne dépend que de et de et duquel les parois parallèles à l’axe sont isolées thermiquement. Le vecteur densité de courant thermique $\vb{J}(x, t)$ associé est lié à la température par la loi de Fourier :

$\vb{J}(x, t) = - \lambda \grad{T(x, t)}\textrm{.}$

Si l’on se place en régime stationnaire, les températures en x=0 et x=L étant fixées à T_0 et T_L , on obtient rapidement :

$\pdv[2]{T}{x} = 0 \implies T(x) = \frac{T_L - T_0}{L} x + T_0 \implies J \defeq \norm{\vb{J}} = - \lambda \frac{T_L - T_0}{L}\textrm{.}$

On peut alors exprimer le flux thermique au travers de la section :

$\phi = J S = - \lambda \frac{T_L - T_0}{L} S = - \frac{\lambda S}{L} \Delta T\textrm{.}$

Résistance thermique

En avançant une analogie avec l’électrocinétique, dans laquelle la différence de température jour un rôle de différence de potentiel et le flux thermique un rôle de courant, on peut définir une résistance thermique :

$R_{th} \;\suchas\; \Delta T = R_{th} \phi \implies R_{th} = \frac{L}{\lambda S}\textrm{.}$

L’expression de cette résistance suit complètement l’analogie puisque pour un corps de conductivité électrique $\sigma$ , de longueur et de section , traversé par un courant électrique dans l’axe de la longueur, la résistance électrique s’exprime $R_{el} = \frac{L}{\sigma S}$ .

Association de résistances

Rappels d’électrocinétique

En électrocinétique on associe des résistances en série par sommation directe :

$R_{eq} = R_1 + R_2\textrm{,}$

et des résistances en parallèle par sommation des inverses :

$R_{eq} = \qty(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})^{-1}\textrm{.}$

Revenons sur les définitions de série et parallèle. On dit que deux branches d’un circuit sont en série lorsqu’elles sont traversées par le même courant. On dit que deux branches d’un circuit sont en parallèle lorsqu’elles sont soumises à la même différence de potentiels.

En thermodynamique : série

On associe deux corps de conductivité thermique $\lambda_1$ et $\lambda_2$ ; le premier remplit l’espace entre x=0 et x=L_1 et le second l’espace entre x=L_1 et x=L_1+L_2 . En régime permanent on note T_0 , T_1 , T_2 les températures en x=0 , x=L_1 , .

Ces deux corps sont traversés par le même flux thermique $\phi_1 = \phi = \phi_2$ , avec :

$\left\{\begin{array}{cc} \phi_1 &= - \lambda_1 S \frac{T_1 - T_0}{L_1} \\ \phi_2 &= - \lambda_2 S \frac{T_2 - T_1}{L_2} \end{array}\right. \implies T_2 - T_0 = - (\frac{L_1}{\lambda_1 S} + \frac{L_2}{\lambda_2 S}) \phi\textrm{.}$

On va donc pouvoir exprimer une résistance équivalente de l’ensemble par la relation :

$R_{eq} = \frac{L_1}{\lambda_1 S} + \frac{L_2}{\lambda_2 S}\textrm{.}$

En thermodynamique : parallèle

On associe maintenant les deux corps de sorte que les deux soient exposés à la même différence de température et traversés par des flux thermiques qui sont différents. Le premier corps de section droite S_1 remplit une partie de l’espace entre x=0 et x=L_1 et l’autre, de section droite S_2 une partie de l’espace entre x=0 et x=L_2 . La température en x=0 est notée T_0 , et la température en x=L_1 égale à la température en x=L_2 est notée T_1 . Le flux total au travers de l’association est maintenant $\phi = \phi_1 + \phi_2$ avec :

$\left\{\begin{array}{cc} \phi_1 &= - \lambda_1 S \frac{T_1 - T_0}{L_1} \\ \phi_2 &= - \lambda_2 S \frac{T_1 - T_0}{L_2} \end{array}\right.\textrm{,}$

d’où :

$\phi = - \qty(\frac{\lambda_1 S_1}{L_1}+\frac{\lambda_2 S_2}{L_2}) (T_1-T_0)\textrm{,}$

soit :

$(T_1 - T_0) = - \frac{1} {\qty(\frac{\lambda_1 S_1}{L_1}+\frac{\lambda_2 S_2}{L_2})} \phi\textrm{.}$

On va donc pouvoir exprimer une résistance équivalent de l’ensemble par la relation :

$R_{eq} = \qty(\frac{\lambda_1 S_1}{L_1} + \frac{\lambda_2 S_2}{L_2})^{-1}\textrm{.}$

Convection et rayonnement

Comme annoncé en introduction, l’objectif de cette leçon est d’étudier les trois phénomènes de transferts thermiques en proposant une unification de la modélisation. C’est à travers cette notion de résistance thermique que nous allons simplifier les descriptions.

Les phénomènes de convection et de rayonnement permettent aussi de définir une forme de résistance thermique. Un corps qui échange avec son environnement de l’énergie à travers sa surface par convection et par rayonnement voit ses surfaces soumises à une différence de température $\Delta T$ traversées par un flux d’échange convectif $\phi_c$ et un flux d’échange radiatif $\phi_R$ . Si l’on arrive à introduire pour ces modes de transferts des grandeurs analogues à la résistance, alors on pourra dire que les échanges d’un corps avec son environnement se font avec une résistance thermique équivalente à l’association en parallèle des deux résistances.

Convection

La loi phénoménologique de Newton (dont l’expression n’est pas à connaître en CPGE) décrit les échanges thermiques pour les interfaces solide-fluide. Si l’on considère une surface à la température en contact avec de l’air à la température T_a , le vecteur densité de courant thermique sortant algébriquement de la surface lié à la convection va s’écrire :

$\vb{J_c} = h_c (T - T_a) \vu{x}\textrm{,}$

où h_c est le coefficient de convection qui dépend des milieux en contact.

Ici, on peut définir une résistance thermique :

$R_c = \frac{1}{h_c S}\textrm{.}$

Rayonnement

La loi de Stefan donne l’énergie rayonnée par unité de surface par unité de temps pour un corps noir à la température :

$J_R = \sigma T^4\textrm{,}$

en fonction de la constante universelle de Stefan-Boltzmann :

$\sigma = \frac{2\pi^5k_B^4}{15 c^2 h^3} \approx \SI{5.67e-8}{\watt\per\meter\squared\per\kelvin\tothe{4}}\textrm{.}$

On rappelle que le corps noir est un modèle théorique qui décrit de manière approximative le spectre continu d’émission de corps réels.

À la surface d’un corps de température en contact avec un environnement de température T_e , la densité de courant thermique sortant algébriquement de la surface de contact va donc s’écrire :

$J_R = \sigma (T^4 - T_e^4)\textrm{.}$

On pourra, pour un corps de surace , définir le flux thermique par rayonnement :

$\phi_R = J_R S = \sigma S (T^4 - T_e^4)\textrm{.}$

L’absence de dépendance en T - T_e empêche de définir une résistance thermique par les mêmes considérations que précédemment. Mais pour des écarts de températures très faibles ( $T = T_e + \Delta T, \Delta T \ll T_e$ ) un développement limité permettra d’écrire :

$\phi_R \approx \sigma S T_e^3 \Delta T\textrm{.}$

On peut maintenant exprimer :

$R_R = \frac{1}{\sigma S T_e^3} \approx \frac{1}{\sigma S T^3}\textrm{.}$

Le double vitrage [1]

On se propose d’estimer les pertes thermiques d’un local maintenu à la température $T_{int}$ dans une atmosphère de température $T_{ext}$ . On suppose que la paroi qui sépare l’intérieur de l’extérieur est constituée d’un mur en béton et d’une vitre, d’abord en simple vitrage puis en double vitrage.

On considèrera que la paroi en contact avec l’extérieur échange de l’énergie thermique par convection avec l’air et par rayonnement avec l’atmosphère ; et que la paroi en contact avec l’intérieur échange de l’énergie thermique par convection avec l’air et par rayonnement avec l’intérieur du local.

Dans le cas du double vitrage on pourra négliger les phénomènes de convection pour l’air emprisonné entre les vitres, car l’épaisseur de la couche d’air est réduite à une épaisseur inférieure à celle de la couche limite d’adhérence de l’air sur le verre.

Cette leçon se concentre sur des échanges thermiques entre milieux unidimensionnels et thermostatés, mais l’on pourrait (dans le cadre du programme de PSI) d’une part généraliser les problèmes à trois dimensions et d’autre part s’intéresser à des bilans d’énergie thermique dans des situations où :

les conditions aux limites sont périodiques (ondes thermiques)
il y a des sources d’énergie thermique (effet Joule)

En sortant à nouveau du programme de PSI, on pourrait établir une expression pour le coefficient de convection h_c [2], ou justifier l’origine de la loi de Stefan.