LP20 : Conversion de puissance électromécanique

Niveau : PSI

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    accompagnant cette leçon :
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Structure de la machine synchrone

Le rotor

Le rotor est un aimant permanent ou un circuit électrique (une spire) qui a le même comportement, on lui associe un moment magnétique $\vb{M}_r$ . Le rotor est un élément passif dans le moteur synchrone : il est mis en rotation par le stator.

Le stator

Le stator va générer un champ magnétique dont l’objectif est de faire pivoter le rotor. On comprend que ce champ magnétique doit varier dans le temps pour que le rotor tourne sans s’arrêter : le stator est constitué de bobinages que nous allons essayer de construire.

Montrer avec une boussole qu’un champ magnétique fixe ne permet pas de faire un moteur. Montrer qu’avec un champ glissant on obtient un moteur.

L’entrefer

L’entrefer correspond à la couche d’air qui sépare le stator du rotor. Dans cette première étude de la machine synchrone nous considérons un cas idéal où l’entrefer a une épaisseur constante.

On l’appelle entrefer, car le rotor et le stator sont fabriqués dans un matériau magnétique (typiquement un alliage de fer) de perméabilité magnétique $\mu$ que l’on suppose infinie, dans cette situation l’électromagnétisme nous apprend que le champ magnétique qui sort des morceaux métalliques est perpendiculaire à leurs surfaces. Dans l’entrefer le champ magnétique est donc radial.

Le champ glissant généré par le stator

Stator a une spire

On essaye de voir le mouvement qu’aurait un rotor associé à un stator constitué d’une spire. On construit le stator de sorte que seule les deux branches parallèles à l’axe de symétrie contribuent à la production du champ magnétique, c’est-à-dire que l’on suppose la longueur des spires grandes devant la longueur du rotor.

Invariances et symétries

Le problème est considéré invariant par translation selon l’axe . Le problème n’est pas invariant par translation selon $\vu{r}$ , ni par rotation selon $\vu{\theta}$ : on considèrera a priori que le champ magnétique dépend de ces deux dernières coordonnées. Cependant, on fera l’approximation que l’entrefer est suffisamment mince pour que l’on puisse négliger les variations du champ lorsqu’on s’y déplace radialement.

La distribution de courant étant symétrique par rapport au plan Oyz (on ignore le fil qui contourne du haut vers le bas), on a pour $\vb{B}$ dans l’entrefer :

$\vb{B}\qty(\frac{\pi}{2} - \Theta) = -\vb{B}\qty(\frac{\pi}{2} + \Theta)\textrm{.}$

La distribution de courant étant antisymétrique par rapport au plan Oxz le champ magnétique est symétrique par rapport à ce plan donc :

$\vb{B}\qty(- \Theta) = \vb{B}\qty(\Theta)\textrm{.}$

Champ magnétique créé par l’un des fils

On peut appliquer le théorème d’Ampère sur le contour $\mathcal{L}$ , qui entoure l’un des fils et qui traverse radialement l’entrefer aux deux angles suivant :

$\theta = \frac{\pi}{2} - \Theta \in \qty[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \qq{et} \theta' = \frac{\pi}{2} + \Theta \in \qty[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]\textrm{.}$

Cependant, comme les parties métalliques qui constituent le rotor et le stator ont une perméabilité magnétique $\mu = \infty$ , l’excitation magnétique $\vb{H}$ y est nulle : $\vb{H} = \vb{0}$ , donc on ne s’intéresse pas vraiment au chemin qui prend le contour hors de l’entrefer.

Appliquons alors le théorème :

$i = \oint_{\mathcal{L}} \vb{H} \dd \vb{l} = \int_{\mathcal{L}_m} \vb{H} \dd \vb{l} + \int_{\mathcal{L}_e} \vb{H} \dd \vb{l}\textrm{.}$

Comme $\vb{H}$ est radial dans l’entrefer :

$\begin{align*} i = \int\displaylimits_{\mathcal{L}_e(\theta)} \vb{H} \vu{r} \dd l + \int\displaylimits_{\mathcal{L}_e(\theta')} \vb{H} (-\vu{r}) \dd l &= \int\displaylimits_{\mathcal{L}_e(\theta)} H \dd l + \int\displaylimits_{\mathcal{L}_e(\theta')} - H \dd l \\ &= e \qty\Big(H(\theta) - H(\theta')) = 2 e H(\theta) = -2e H(\theta') \end{align*}$

Enfin, comme l’aimantaion est nulle dans l’entrefer, $H(\theta) = \flatfrac{B(\theta)}{\mu_0}$ donc :

$\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle B(\theta) = +\displaystyle \frac{\mu_0 i}{2e} &\qq{pour} \displaystyle \theta \in \qty[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \\ \displaystyle B(\theta) = \displaystyle - \frac{\mu_0 i}{2e} &\qq{pour} \displaystyle \theta \in \qty[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \end{array}\right. \textrm{.}$

Champ créé par les deux fils

Par principe de superposition, on obtient rapidement que :

$\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle B(\theta) = +\displaystyle \frac{\mu_0 i}{e} = B_0 &\qq{pour} \displaystyle \theta \in \qty[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \\ \displaystyle B(\theta) = \displaystyle - \frac{\mu_0 i}{e} = - B_0 &\qq{pour} \displaystyle \theta \in \qty[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \end{array}\right.$

Stator a plusieurs pires

Puisqu’il n’y a pas de gradient de champ magnétique (hormis les deux discontinuités), cette spire ne permet pas de modifier l’orientation du rotor. Pour créer un gradient de champ magnétique centré en $\theta = 0$ , nous allons disposer un ensemble de spires régulièrement sur la circonférence du stator, ce qui permet d’obtenir un champ $B = \fof(\theta)$ triangulaire. En pratique les spires sont plutôt disposées de sorte à créer un champ sinusoïdal qui s’écrit alors :

$B(\theta) = \frac{2 \mu_0 N i}{\pi e} \cos(\theta) \vu{r} \propto i \cos(\theta) \vu{r}\textrm{,}$

on note que ce champ est bien dirigé selon $-\vu{r}$ pour les valeurs de $\theta$ qui correspondent à celles que nous avons déjà déterminées.

Ce champ est toujours statique et ne permet donc pas de créer un moteur à proprement parler.

Stator a plusieurs phases

On décide d’alimenter l’ensemble des spires étudiées jusqu’ici avec le même courant alternatif $i_1 = I \cos(\omega t)$ . Dans ce cas, le champ magnétique dans l’entrefer s’écrit :

$B(\theta, t) = k I \cos(\omega t) \cos(\theta) \vu{r} = k I \cos(\omega t) \cos(\theta) \vu{r}\textrm{,}$

il a la forme d’une onde stationnaire. Ce champ varie dans le temps, mais la position de son maximum correspond toujours à $\theta = 0$ , nous n’avons donc pas avancé.

Cependant, de la trigonométrie (ou de LP24) on se rappelle qu’à partir de deux ondes stationnaires judicieusement déphasées, on peut former une onde progressive :

$A_1 = \cos(\omega t) \cos(\theta) \qq{et} A_2 = \sin(\omega t) \sin(\theta) \implies A_1 + A_2 = \cos(\omega t - \theta) \textrm{.}$

On peut donc en superposant les champs créés :

par les spires étudiées jusqu’ici et alimentées avec ;
par des spires décalées spatialement de $-\frac{\pi}{2}$ et alimentées par un courant en quadrature avance par rapport à , soit $i_2 = I \cos(\omega t - \frac{\pi}{2}) = I \sin(\omega t)$

produire un champ glissant dont l’expression est :

$B(\theta, t) = B_0 \cos(\omega t - \theta)\textrm{,}$

ce champ s’écrit comme une onde progressive, il se déplace à vitesse angulaire $\omega$ dans le sens trigonométrique autour de l’axe .

Le champ du rotor

On lui associe un moment magnétique? Ou alors un champ sinusoïdal aussi?

Couple moteur

Attention, au niveau PSI on utilise pour calculer le couple l’expression fournie : $\vb{\Gamma} = \pdv*{E_\textrm{mag}}{\theta_r} \vu{z}$ .

Dans l’approximation des régimes quasi stationnaires, l’énergie volumique s’écrit : $e_\textrm{mag} = \flatfrac{B^2}{2\mu_0\mu_r}$ . Elle est alors nulle dans les parties métalliques et constante dans l’entrefer. On calcule à partir de en intégrant sur ce volume, en tenant compte du champ du stator et du champ du rotor : B = B + B_r . On trouve un terme de couplage de sorte que l’énergie magnétique s’écrive : $E \propto \cst + \cos(\omega t - \theta_r)$ .

Avec $\theta_r$ l’angle qui repère le rotor et $\Omega_r$ la vitesse angulaire du rotor, on trouve : $\Gamma \propto \sin((\omega - \Omega_r) t + \alpha)$

Pour que ce couple ne soit pas nul en moyenne, il faut $\Omega = \omega$ . C’est la condition de synchronisme.

En traçant $\Gamma = \fof(\alpha)$ on voit qu’il peut y avoir un décrochage, et que la machine peut fonctionner en alternateur. On voit aussi que le démarrage n’est pas possible sans aide.