LP21 : Induction électromagnétique

On ne dessine qu’une seule spire pour modéliser les bobines.

On insiste sur les conventions de signe choisies dans la leçon mais, en se référant aux expériences on fait attention à ne pas donner une idée de positif ou négatif absolu. La fem change de signe lorsque l’on change le pôle de l’aimant.

Niveau: PCSI (MPSI, PTSI, TSI)

Prérequis :

Électrocinétique : bobines
Champ magnétique d’un aimant, d’une bobine
Action d’un champ magnétique sur un moment magnétique
Action d’un champ magnétique sur un circuit : force de Laplace

On fait tourner un alternateur relié à une petite ampoule : elle s’allume.

On approche un aimant d’un anneau en aluminium fixé à une tige en bois pivotante : l’anneau s’éloigne (expérience de Faraday).

On dispose deux bobines côtes à côtes et sur le même axe, l’une des deux étant alimentée par un générateur alternatif : une tension est mesurée aux bornes de l’autre.

On approche le pôle Nord d’un aimant vers une bobine : une différence de potentiel apparaît à ses bornes.

On fait l’expérience du rail de Laplace avec les deux tiges mobiles.

Jusqu’ici dans le cours de physique, nous n’avons jamais vu d’explication aux phénomènes présentés ici. Les expériences semblent assez différentes, mais nous allons voir dans cette leçon qu’elles sont toutes expliquées par la connaissance d’une nouvelle notion : l’induction électromagnétique.

Ce phénomène qui lie le magnétisme à l’électrocinétique va permettre d’expliquer ces expériences ainsi que le fonctionnement des transformateurs, des chargeurs sans fils ou des puces NFC. Comme illustré dans les expériences la mécanique s’associe parfois au magnétisme et à l’électrocinétique : dans ce cas on peut étudier la conversion électromécanique d’énergie et explique le fonctionnement des moteurs, des alternateurs ou des hautparleurs. Cette leçon est riche en applications.

Dans les moteurs à courant continu ou synchrones, il n’y a pas de courant induits. C’est seulement le cas dans les moteurs asynchrones.

Lois de l’induction [1]

Force électromotrice induite, loi de Faraday

Dans les expériences introductives, la variation d’une quantité liée au champ magnétique $\vb{B}$ produit un courant dans le circuit fermé. L’amplitude de ce courant va dépendre des autres constituants du circuit, mais des expériences quantitatives montreraient qu’elle est liée à la variation du flux de $\vb{B}$ à travers chaque spire la bobine.

La loi de Faraday indique que le courant est égal à celui que produirait un générateur dont la force électromotrice (fem) serait :

$\qq{et} e_\textrm{bobine} = N e_\textrm{spire} \qq{avec} e_\textrm{spire} = -\dv{\Phi}{t} \qq{et} \Phi = \iint_S \vb{B}\dd\vb{S}\textrm{,}$

la surface est orientée et les valeurs de la fem et du flux sont algébriques. L’orientation de la surface donne une orientation à son contour, le courant et la fem sont orientés dans ce sens, en convention générateur.

Refaire l’expérience avec l’aimant et la bobine en montrant l’approche de chaque pôle.

Les lignes de champ sortent du pôle nord de l’aimant donc si l’on insère ce pôle (resp. l’autre) dans la bobine, le flux augmente (resp. diminue) donc la fem est négative (resp. positive).

Refaire l’expérience d’induction mutuelle en changeant la fréquence au générateur. Puis avec un signal triangle.

Induction de Neumann [2]

La loi de Faraday vient de l’équation de Maxwell-Faraday :

$\curl\vb{E} = - \pdv{B}{t}\textrm{.}$

La fem entre deux points d’un circuit n’est autre que l’intégrale :

$e = \int_C \vb{E} \dotproduct \dd\vb{l}\textrm{,}$

or le théorème de Stockes donne :

$e = \int_C \vb{E} \dotproduct \dd\vb{l} = \int_S (\curl\vb{E}) \dotproduct \dd\vb{S} \implies e = - \int_S \pdv{\vb{B}}{t} \dotproduct \dd\vb{S}\textrm{,}$

pour une surface fixée on peut sortir la dérivée par rapport au temps de l’intégrale sur l’espace :

$e = - \dv{t}(\int_S \vb{B} \dotproduct \dd\vb{S}) = - \dv{\Phi}{t}\textrm{.}$

Induction de Lorentz

Elle concerne les cas où le champ $\vb{B}$ est constant, mais la surface change dans le temps. Dans ce dernier cas, les électrons animés d’une vitesse $\vb{v}$ subissent la partie magnétique de la force de Lorentz :

$\vb{F} = q \vb{v} \crossproduct \vb{B}\textrm{,}$

perpendiculaire à $\vb{v}$ à laquelle on associe le champ électromoteur : $\vb{E}_m = \flatfrac{\vb{F}}{q}$ . Le fil étant orienté selon $\dd\vb{l}$ , on associe au champ la fem :

$\begin{align*} e = \int_C \vb{E}_m \dotproduct \dd\vb{l} &= \int_C \qty(\vb{v} \crossproduct \vb{B}) \dotproduct \dd\vb{l} \\ &= - \int_C \qty(\vb{v} \crossproduct \dd\vb{l}) \vb{B} \\ &= - \int_C \vb{B} \qty(\dv{\vb{x}}{t} \crossproduct \dd\vb{l}) \end{align*}$

comme $\vb{B}$ et $\dd\vb{l}$ sont indépendants du temps :

$\begin{align*} e = - \int_C \vb{B} \qty(\dv{\vb{x}}{t} \crossproduct \dd\vb{l}) = - \frac{1}{\dd t} \int_C \vb{B} \qty(\dd\vb{x} \crossproduct \dd\vb{l}) = - \frac{1}{\dd t} \int_C \vb{B} \dd\vb{S} = - \frac{1}{\dd t} \dd\Phi \end{align*}$

(Attention, les charges mises en mouvement par le champ vont avoir une composante de vitesse générant un effet Hall dans les fils rapidement compensé.)

Courant induit et champ magnétique, loi de Lenz

Nous avons déjà vu que la présence d’un courant dans une bobine entrainait la création d’un champ magnétique.

Le champ magnétique créé par une bobine (infinie) est : $\vb{B} = \mu_0 i n \vb{u}$ , une analyse pas-à-pas du phénomène sur un schéma orienté montre que le courant qui s’établit dans le même sens que la fem va provoquer la création d’un champ magnétique orienté dans le sens opposé à celui de l’aimant qui s’approche (si l’on approche un nord d’un côté, la bobine créé un nord du même côté). En conséquence, l’intensité du champ magnétique dans la bobine va diminuer et le flux aussi.

La loi de Lenz précise que les effets de l’induction sont tels que ces effets s’opposent toujours à la cause qui leur donne naissance.

La discussion sur le flux est correcte, mais difficile à appréhender : on ne voit pas le champ magnétique : raisonnons plutôt sur la mécanique. En poursuivant le raisonnement qui mène à l’orientation du courant induit on peut calculer la force de Laplace ( $\dd \vb{F} = i \dd \vb{l} \crossproduct \vb{B}$ ) exercée par l’aimant sur la bobine. On conclura que cette force pousse la bobine loin de l’aimant : les effets de l’induction s’opposent ici à l’approche de l’aimant qui créé ces effets. C’est ce que l’on observe dans l’expérience avec l’anneau d’aluminium.

Dans l’expérience du rail de Laplace on essaye d’augmenter le flux en augmentant la surface du circuit : le système répond en s’opposant à cette augmentation.

On peut exprimer la force exercée entre l’aimant et une spire. Cette force est liée à l’interaction dipolaire entre les moments magnétiques :

l’aimant génère un champ $\vb{B}_a$ et porte un moment dipolaire $\vb{m}_a$ ,
la bobine polarisée génère un champ $\vb{B}_b$ porte un moment dipolaire $\vb{m}_b = i \vb{S}$ (que l’on assure constant ici)

L’énergie potentielle de l’aimant dans le champ magnétique de la bobine est : $E_p = - \vb{m}_a \dotproduct \vb{B}_b$ .

À cette énergie on associe une force : $\vb{F} = -\grad E_p = \grad(\vb{m}_a \dotproduct \vb{B}_b)$ .

Comme les deux vecteurs sont de sens opposés, si l’on fixe l’angle d’approche à nord contre nord, le produit scalaire est négatif : $\vb{F} = - m_a \grad(B_b)$ . La force est dirigée vers les faibles valeurs de B_b : loin de la bobine.

Principe de relativité

Ici les expériences sont faites en déplaçant l’aimant, la bobine étant fixe. On peut refaire ces expériences en fixant l’aimant et déplaçant la bobine pour retrouver les mêmes résultats.

Les champs électrique et magnétique ne se transforment pas trivialement par changement de référentiel. On raisonne sur la force.

*

Dans les sections suivantes, nous préciserons des effets qui découlent de cette loi et les illustrerons par des applications technologiques.

Induction mutuelle et auto-induction [1]

On étudie dans cette section le cas de circuit fixe dans un champ magnétique qui dépend du temps.

Inductance mutuelle

Remontrer l’expérience d’induction mutuelle.

On considère maintenant deux circuits électriques. Le circuit composé d’une bobine est parcouru par le courant i_1 et créé donc un champ magnétique $\vb{B_1} \propto i_1 \vb{u}$ dont les lignes de champ sont enlacées par une bobine dans le circuit . Le circuit créé donc un flux $\Phi_{12}$ dans cette bobine.

Dans le cas général l’expression de $\Phi_{12}$ est compliquée, mais comme $\vb{B_1}$ est proportionnel à i_1 on pourra dire que :

$\Phi_{12} = M_{12} i_1\textrm{.}$

La situation inverse est vraie également de sorte que le circuit créé un flux dans le circuit :

$Phi_{21} = M_{21} i_2\textrm{.}$

Le théorème de Neumann indique que ces deux coefficients sont égaux (ils dépendent essentiellement de caractéristiques géométriques) : on appelle inductance mutuelle la grandeur $M = M_{12} = M_{21}$ . Elle s’exprime en Henrys : $\si{\henry} = \si{\weber\per\ampere} = \si{\tesla\meter\squared\per\ampere}$ .

Trouver la démonstration de ce théorème. Attention, il n’est peut-être pas vrai dans le cas général.

$\si{\weber} \defeq \si{\volt\second}$ et $\si{\tesla} \defeq \si{\weber\per\meter\squared}$ et $\si{\henry} \defeq \si{\volt\per\ampere\second}$

Connaissant ces flux on peut exprimer les fem induites par mutuelle induction dans l’un et l’autre circuit :

$e_{12} = - \dv{\Phi_{12}}{t} = - M_{12} \dv{i_1}{t} \qq{et} e_{21} = - \dv{\Phi_{21}}{t} = - M_{21} \dv{i_2}{t}\textrm{.}$

On constate que par l’établissement d’un courant variable dans un circuit on peut transmettre de l’information ou de l’énergie dans un autre circuit.

Auto-inductance

L’expression type $e = -M \dv*{i}{t}$ doit rappeler la modélisation électrique des bobines où : $e = L \dv*{i}{t}$ . La ressemblance n’est pas un hasard.

Dans l’étude précédente, nous avons cherché à modéliser en termes d’électrocinétique les effets d’induction de la bobine sur la bobine via les variations de flux magnétique $\Phi_{12}$ mais, nous n’avons pas regardé l’effet de la variation du flux magnétique créé par la bobine dans la bobine .

En effet, le champ magnétique B_1 créé par le courant i_1 est aussi présent dans la bobine et va créer des effets d’inductions dits d’auto-induction. On peut calculer le flux $\Phi_{11}$ créé par la bobine dans elle-même : comme tout à l’heure, il n’est pas forcément trivial, mais peut s’exprimer par proportionnalité : $\Phi_{11} = L_1 i_1$ .

Les variations de ce flux créent une fem autoinduite :

$e_{11} = - L_1 \dv{i_1}{t}\textrm{.}$

Rappelons que dans cette modélisation la bobines est traitée comme un générateur (de fem $e_{11}$ ), d’où le signe opposé à celui usuel, quand la bobine est traitée comme un récepteur (tension aux bornes $u_L = L \dv*{i_1}{t} = -e_{11}$ ).

Électrocinétique de deux circuits couplés [1]

Schémas électriques équivalents

On s’appuie à nouveau sur l’expérience d’induction mutuelle.

Faire les schémas avec les générateurs, mais aussi avec les bobines en mutuelle induction (flèche courbée).

Dans une situation ou les deux bobines interagissent, aucun effet n’est négligeable devant l’autre. En conséquences, la fem qui existe aux bornes de chacune des bobines traitées comme générateur correspond à la somme :

$\begin{align*} e_1 &= e_{12} + e_{11} = - M \dv{i_2}{t} - L_1 \dv{i_1}{t} \\ e_2 &= e_{21} + e_{22} = - M \dv{i_1}{t} - L_2 \dv{i_2}{t} \end{align*}$

On modélise les bobines : soit par des générateurs (symbole d’une source de tension) avec ces fem, soit par des dipôles récepteurs (symbole d’une inductance) avec les fem opposées.

Les deux circuits sont dits couplés. Encore une fois, on constate que par l’établissement d’un courant variable dans un circuit on peut transmettre de l’information ou de l’énergie dans un autre circuit.

Grandeurs électriques

Le circuit est composé d’un générateur et d’une bobine, le circuit est composé d’une bobine fermée sur elle-même. On tiendra compte des résistances internes R_1 de la bobine et du générateur et R_2 de la bobine .

On s’intéresse aux courants i_1 et i_2 qui circulent. Pour les calculer on représente les éléments de chaque circuit par des éléments parfaits, les bobines étant modélisées par des sources de fem :

$\begin{align*} 0 &= u_g(t) - R_1 i_1(t) + e_1(t) \\ 0 &= e_2(t) - R_2 i_2(t) \end{align*}$

en remplaçant chaque fem par son expression :

$\begin{align*} u_g(t) &= R_1 i_1(t) + L_1 \dv{i_1}{t} + M \dv{i_2}{t} \\ 0 &= L_2 \dv{i_2}{t} + M \dv{i_1}{t} + R_2 i_2(t) \end{align*}$

En régime sinusoïdal forcé, on impose $u_g(t) = E_0 \cos(\omega t)$ . En représentation harmonique :

$\begin{align*} \z{u_g} &= (R_1 + j\omega L_1) \z{i_1} + j\omega M \z{i_2} \\ 0 &= j\omega M \z{i_1} + (R_2 + j\omega L_2) \z{i_2} \end{align*}$

On peut résoudre ce système d’équations pour obtenir :

$\begin{align*} \z{i_1} = - \frac{R_2 + j\omega L_2}{j\omega M} \z{i_2} \qq{puis} &\z{u_g} = \qty[- (R_1 + j\omega L_1)\frac{R_2 + j\omega L_2}{j\omega M} + j\omega M] \z{i_2} \\ \qq{sans oublier} &\z{e_2} = R_2 \z{i_2} \end{align*}$

Bilan d’énergie

Multiplions les équations temporelles couplées précédentes par i_1 et i_2 :

$\begin{align*} u_g(t) i_1(t) &= R_1 i_1(t) + \dv{t}(\frac{1}{2} L_1 i_1^2(t) + M i_1(t) i_2(t)) \\ 0 &= R_2 i_2(t) + \dv{t}(\frac{1}{2} L_2 i_2^2(t) + M i_1(t) i_2(t)) \end{align*}$

on peut les combiner pour obtenir :

$u_g(t) i_1(t) - R_1 i_1(t) - R_2 i_2(t) = \frac{1}{2} \dv{t}(L_1 i_1^2(t) + L_2 i_2^2(t) + 2 M i_1(t) i_2(t))\textrm{.}$

La puissance fournie par le générateur est :

$P_g(t) = u_g(t) i_1(t)\textrm{.}$

La puissance dissipée par effet Joule est :

$P_J(t) = R_1 i_1(t) + R_2 i_2(t)\textrm{.}$

Le membre de droite dans le bilan de puissance correspond à la puissance fournie au champ électromagnétique par la bobine. Le champ emmagasine une énergie qui s’écrit :

$W = \int_{t_0}^{t_1} P_{mag}(t) \dd t = \frac{1}{2} \qty[L_1 i_1^2(t) + L_2 i_2^2(t) + 2 M i_1(t) i_2(t)]_{t_i}^{t_f}\textrm{,}$

c’est cette énergie qui est libérée lorsque les effets inductifs de la bobine s’opposent aux variations de courant électrique.

Exemples d’applications

Se renseigner sur le chauffage par induction avant d’en parler : il semblerait que le champ électrique variable qui accompagne le champ magnétique variable soit capable de retourner les spins du ferromagnétique et que c’est cet effet qui génère le plus d’énergie thermique, et non les courants de Foucault.

Quelques exemples

Radio-étiquettes

Les étiquettes RFID (« radio frequency identification ») sont de petits objets qui comprennent une antenne et une puce électronique, elles sont utilisées pour le suivi ou l’identification :

d’articles (bibliothèques, magasins)
de véhicules (télépéage, trains)
d’animaux (sous-cutanée ou bague)
de personnes (cartes de transport en commun, cartes d’accès)

L’antenne sert à récupérer de l’énergie en se couplant à un émetteur, puis à transmettre un signal commandé par la puce embarquée.

Technologie NFC

Les appareils mobiles peuvent communiquer entre eux ou avec des radio-étiquettes compatibles par une technologie proche de RFID.

Rechargement sans fil

En plaçant une batterie rechargeable dans le circuit secondaire, l’énergie fournie par le générateur peut être utilisée pour la recharger.

Le transformateur de tension [1]

On considère deux bobines (idéales, les résistances internes sont hors de vue) dans une situation d’induction mutuelle. Le circuit primaire () est soumis à une tension alternative u_1(t) et est parcouru par le courant i_1 , il crée un champ magnétique variable. La bobine du circuit secondaire qui enlace les lignes du champ créé par le primaire, va alors induire une fem e_2(t) à ses bornes. On cherche la relation entre la tension u_1(t) et la tension u_2(t) = -e_2(t) .

Exprimons les deux fem :

$\begin{align*} e_1(t) &= - \dv{\Phi_{11} + \Phi_{21}}{t} = - N_1 S_1 \dv{B}{t} \\ e_2(t) &= - \dv{\Phi_{21} + \Phi_{22}}{t} = - N_2 S_2 \dv{B}{t} \end{align*}$

Par égalité du champ magnétique total :

$\frac{u_2}{u_1} = \frac{N_2 S_2}{N_1 S_1} = \frac{N_2}{N_1}\textrm{,}$

les transformateurs étant souvent conçus de sorte que S_1 = S_2 .

En pratique les transformateurs électriques sont utilisés tout le long de la chaîne de transport de l’énergie électrique :

transformateur élévateur, en sortie de centrale de production pour abaisser l’intensité (en augmentant la tension) : $\SI{20}{\kilo\volt} / \SI{400}{\kilo\volt}$
transformateur ferroviaires : $\SI{400}{\kilo\volt} / \SI{28}{\kilo\volt}$
transformateur de distribution, à l’entrée des zones d’utilisation grand public : $\SI{400}{\kilo\volt} / \SI{230}{\volt}$
transformateur domestique (ordinateur portable) : $\SI{230}{\volt} / \SI{12}{\volt}$

On aura en tête les puissances typiques au niveau de la production :

Centrale	Puissance ( $\si{\mega\watt}$ )
Éolienne	200
Photovoltaïque	250
Thermique	500
Hydroélectrique	1000
Nucléaire	1600

On aura aussi en tête les pertes associées aux transformateurs :

par effet Joule
par fuites de champ
par courants de Foucault
par hystérésis

À la suite de cette leçon on pourra calculer une grandeur encore mystérieuse : le coefficient de mutuelle induction dans le cas particulier de deux bobines infinies qui partagent le même axe.

Dans une leçon suivante, nous étudierons d’autres situations où l’induction électromagnétique joue un rôle primordial : la conversion électromécanique de puissance, illustrée dans l’une des expériences. J’ai fait le choix de ne pas traiter ces applications dans cette leçon, car c’est le cœur de la leçon LP20 et, le BO de PCSI suggère de traiter « circuit fixe dans un champ magnétique qui dépend du temps » avant « circuit mobile dans un champ magnétique fixe ».

Précisons que l’on retrouvera l’étude du transformateur en classe de PSI.