LP22 : Rétroaction et oscillations

Préparer un ALI en montage amplificateur non inverseur avec $R_1 = R_2 = \SI{1}{\kilo\ohm}$ .

Rétroaction

Schémas blocs et définitions

Schéma bloc

On modélise un morceau de système technique (électronique, mécanique) par un ensemble de blocs à une entrée et une sortie.

$\begin{figure}[H] \centering \begin{tikzpicture} \node (e) at (-2, 0) {}; \node[draw=black] (T) at (0, 0) {$T$}; \node (s) at (2, 0) {}; \draw[->] (e) --node[anchor=south]{$e$} (T); \draw[->] (T) --node[anchor=south]{$s$} (s); \end{tikzpicture} \end{figure}$

Plutôt que d’exprimer ces grandeurs dans le domaine temporel (variable ) on les exprimes dans le domaine de Laplace (variable ). La transformation associée est étudiée dans le cours de sciences de l’ingénieur. En électronique, l’entrée e(p) et la sortie s(p) sont des tensions.

Fonction de transfert

On appelle fonction de transfert le rapport :

$T(p) \defeq \frac{s(p)}{e(p)} \textrm{.}$

Système bouclé

On dit qu’un système est bouclé lorsque le schéma bloc se présente sous cette forme :

$\begin{figure}[H] \centering \begin{tikzpicture} \node (e) at (-2, 0) {}; \node[draw=black, circle] (comp) at (0, 0) {$\;\;$}; \node (comp+) at (-0.4, 0.2) {$^+$}; \node (comp-) at (-0.2, -0.4) {$^-$}; \node[draw=black] (A) at (1.5, 0) {$A$}; \node[draw=black] (B) at (1.5, -1) {$B$}; \node (s) at (5, 0) {}; \draw[->] (e) --node[anchor=south]{$e$} (comp); \draw[->] (comp) --node[anchor=south]{$\epsilon$} (A); \draw[->] (A) -- (3, 0) -- (3, -1) -- (B); \draw[->] (B) -- (0, -1) --node[anchor=east]{$r$} (comp); \draw[->] (3, 0) --node[anchor=south]{$s$}(s); \end{tikzpicture} \end{figure}$

Le bloc est appelé chaine directe, et le bloc est appelé chaine de retour. L’élément supplémentaire est un comparateur : $\epsilon = e - r$ . On peut exprimer la fonction de transfert de l’ensemble :

$s = A \epsilon \qq{et} \epsilon = e - B s \implies T = \frac{s}{e} = \frac{A}{1 + A B}\textrm{.}$

Exemple avec l’ALI non inverseur

Fonctions de transfert

L'ALI combine à la fois le comparateur et le bloc de la chaîne directe. On peut réaliser le montage non inverseur et dans ce cas, le pont diviseur de tension constitue la chaine de retour du système bouclé.

La chaine directe

La chaîne directe intégrée à l’ALI se comporte comme un filtre passe bas dont l’équation différentielle est :

$\dv{s}{t} + \omega_0 s(t) = \mu_0 \omega_0 e(t) \textrm{.}$

La transformée de Laplace pour les dérivées donne : $y'(t) \rightarrow p y(p) - y'(0)$ , alors l’équation différentielle devient :

$p s(p) + \omega_0 s(p) = \mu_0 \omega_0 e(p) \implies T(p) = \frac{\mu_0}{1 + \flatfrac{p}{\omega_0}}\textrm{.}$

Pour les ALI ordinaires $\mu_0 = \num{e5}$ et $\omega_0 = \SI{100}{\radian\per\second}$ .

La chaîne de retour

La chaîne de retour correspond à un amplificateur proportionnel dont la fonction de transfert va s’écrire :

$B(p) = \frac{R_1}{R_1 + R_2} = B\textrm{.}$

La fonction de transfert de l’ensemble

La fonction de transfert de l’ensemble va alors s’écrire :

$T(p) = \frac{A(p)}{1 + A(p) B(p)} = \frac{\frac{\mu_0}{1 + \flatfrac{p}{\omega_0}}} {1 + \frac{\mu_0}{1 + \flatfrac{p}{\omega_0}} B} = \frac{\frac{\mu_0}{1 + \mu_0 B}} {1 + \flatfrac{p(1 + \mu_0 B)}{\omega_0}} = \frac{\mu}{1 + \flatfrac{p}{\omega_c}} \textrm{,}$

le calcul étant mené jusqu’à la forme dite canonique.

Gain et bande passante

Le gain $\mu_0$ et la pulsation de coupure $\omega_0$ de l’ALI seul ne s’appliquent plus lorsqu’il est bouclé : les quantités sont modifiées par $\mu = \flatfrac{\mu_0}{(1 + \mu_0 B)}$ et $\omega_c = \omega_0 (1 + \mu_0 B)$ . On peut cependant calculer :

$\mu \omega_c = \mu_0 \omega_0\textrm{,}$

et constater que le produit est indépendant du bouclage . En choisissant par exemple $R_1 = R_2 = \SI{1}{\kilo\ohm}$ , on peut calculer $\mu = 2$ et $\omega_c = \SI{5e6}{\radian\per\second}$ . Le bouclage permet d’élargir la bande passante en diminuant le gain.

\pyimgen{bouclage_ali}

Stabilité des systèmes bouclés

On retourne vers l’équation différentielle du filtre passe bas :

$\begin{align*} T(p) = \frac{s(p)}{e(p)} = \frac{\mu}{1 + \flatfrac{p}{\omega_c}} &\implies \dv{s}{t} + \omega_c s(t) = \mu \omega_c e(t) \\ &\implies \dv{s}{t} + \omega_0 (1 + \mu_0 B) s(t) = \mu_0 \omega_0 e(t) \\ &\implies s(t) = s_0 e^{-t \omega_0 (1 + \mu_0 B)} + \mu e(t) \end{align*}$

On dit que le système est stable si quand e(t) tends vers une constante alors s(t) tends aussi vers une constante. Il faut donc que le terme en exponentielle converge vers une valeur nulle, c’est-à-dire qu’il faut :

$- \omega_0 (1 + \mu_0 B) < 0\textrm{.}$

Dans le cas de l’amplificateur non inverseur, comme le gain $\mu_0$ est fixé est positif et B > 0 , alors nécessairement le système est stable.

Si l’on avait branché la commande sur l’entrée inverseuse et la rétroaction sur l’entrée non inverseuse, la fonction de transfert générale serait modifiée en :

$T = \frac{-A}{1 - AB}\textrm{,}$

et donc, l’équation différentielle :

$\dv{s}{t} + \omega_0 (1 - \mu_0 B) s(t) = - \mu_0 \omega_0 e(t)\textrm{,}$

donnerait les solutions :

$s(t) = s_0 e^{-t \omega_0 (1 - \mu_0 B)} - \mu e(t)\textrm{,}$

la stabilité est possible pour :

$- \omega_0 (1 - \mu_0 B) < 0 \implies \mu_0 B < 1\textrm{,}$

en partique cela correspond à $B < \num{e-5}$ (soit $R_1 = \SI{1}{\ohm}$ et $R_2 > \SI{100}{\kilo\ohm}$ ). Dans le cas limite, la pulsation de coupure est : $\omega_c = \SI{200}{\radian\per\second}$ et le gain $\mu = \num{50000}$ . Le problème est alors de ne pas saturer l’ALI. Il faut $e < \frac{\SI{15}{\volt}}{\num{50000}} = \SI{0.3}{\milli\volt}$ .