LP24 : Ondes progressives, ondes stationnaires

Dans cette leçon sur les ondes on s’intéresse à deux types particuliers de solutions à l’équation de D’Alembert. Ces solutions ont déjà été rencontrées dans divers problèmes et introduites par des considérations phénoménologiques.

L’objectif de cette leçon est de revenir sur l’équation de D’Alembert et sur les considérations physiques qui mènent à l’écriture d’ondes progressives ou d’ondes stationnaires et nous pourrons étudier les différences qui existent entre les deux.

Énoncer les hypothèses faites dans cette leçon : dispersion, absorption, linéarité, …

On fait le choix de mener les calculs sur la corde plutôt que le câble car l’étude de la corde ne nécessite l’introduction que d’un seul paramètre : la déformation ; l’étude du câble nécessite l’introduction de et .

Équation de D’Alembert

Rappels, notations

Montrer la corde de Melde avec des conditions aux limites qui ne donnent pas lieu à une réflexion.

Montrer aussi le câble coaxial dans les mêmes conditions.

L’équation de D’Alembert décrit la propagation des ondes, c’est une équation aux dérivées partielles dont la dérivée seconde par rapport au temps illustre le caractère réversible. Concernant les ondes sur la corde on trouve :

$\pdv[2]{y}{x} - \frac{1}{c^2}\pdv[2]{y}{t} = 0\textrm{,}$

avec $c = \sqrt{\tfrac{T_0}{\mu}}$ la célérité de l’onde.

Solution générale

On montre mathématiquement que les solutions générales de cette équation sont de la forme :

$y(x, t) = f(t - \tfrac{x}{c}) + g(t + \tfrac{x}{c})\textrm{,}$

où et sont deux fonctions deux fois dérivables par rapport au temps et à l’espace. Les solutions progressives et les solutions stationnaires sont donc des cas particuliers de combinaisons lin’éaires de cette forme de solution générale.

Solutions progressives

Ondes progressives

Si l’on considère le cas où $g(t + \frac{x}{c}) = 0$ , et $f(t - \frac{x}{c})$ est quelconque, puis que l’on trace des graphes de la fonction y(x; t_i) pour différents instants t_i , on constate que cette solution correspond à la propagation d’un paquet d’ondes dans le sens des croissants.

Concernant le paquet d’ondes sa forme est donnée par :

$y(x, t = 0) = y_{t0}(x)$ donne l’amplitude du signal en fonction de à l’instant , cela correspond à prendre une photo de la corde à un instant donné ;
$y(x = 0, t) = y_{x0}(t)$ donne l’amplitude du signal au cours du temps en , cela correspond à filmer la hauteur de la corde à un point donné.

Avec deux oscilloscopes on peut regarder y_x(t) le long du câble coaxial.

On peut utiliser ./python/prop\_onde\_cl.py pour illustrer la propagation d’un paquet et montrer y_t(x) .

Évidemment, va correspondre à la propagation dans les sens des décroissants. Ce type de solutions nécessite donc de faire l’hypothèse que le signal ne se déplace que dans une direction : il ne doit pas y avoir de réflexions ou d’autres sources.

Ondes progressives harmoniques

La linéarité de l’équation de D’Alembert permet de décomposer une des solutions pour l’écrire comme une somme d’autres solutions.

En physique il est très utile de décomposer les phénomènes ondulatoires en solutions harmoniques. Concernant les solutions progressives de l’équation de D’Alembert, on peut vérifier que :

$f_i(t - \tfrac{x}{c}) = y_0 \cos(\omega_i (t - \tfrac{x}{c}) + \phi_i)\textrm{,}$

correspond bien à une solution. Et les travaux de Fourier nous permettent d’affirmer que toute fonction peut s’écrire comme une somme de f_i . Le paquet d’onde dans l’illustration précédente est formé à partir de :

$y(x, t) = y_0 \int e^{- \frac{(\omega - \omega_0)^2}{2 \Delta_\omega^2}} \cos(\omega (t - \tfrac{x}{c})) \dd \omega\textrm{.}$

Le paquet d’onde dans l’expérience du câble coaxial est formé à partir de

Propagation de l’énergie

On définit les ondes comme les phénomènes qui propagent de l’énergie sans transport de matière. Il est alors important de regarder comment se propage cette énergie.

Sur l’exemple de la corde l’énergie cinétique linéique et l’énergie potentielle linéique sont données par :

$e_c = \frac{\mu}{2} \qty(\pdv{y}{t})^2 \qq{et} e_p = \frac{T_0}{2} \qty(\pdv{y}{x})^2 \textrm{,}$

donc l’énergie linéique est :

$e = \frac{\mu}{2} \qty(\pdv{y}{t})^2 + \frac{T_0}{2} \qty(\pdv{y}{x})^2\textrm{.}$

La conservation de l’énergie assure que :

$\pdv{e}{t} + \div(\vb{\Pi}) = 0\textrm{,}$

où $\vb{\Pi}$ correspond au vecteur densité de courant d’énergie. On peut calculer à une dimension : $\div{\vb{\Pi}} = \pdv*{\Pi}{x}$ :

$\begin{align*} - \pdv{\Pi}{x} = \pdv{e}{t} &= \mu \pdv[2]{y}{t} \pdv{y}{t} + T_0 \pdv{y}{t}{x} \pdv{y}{x} \\ &= T_0 \pdv[2]{y}{x} \pdv{y}{t} + T_0 \pdv{y}{t}{x} \pdv{y}{x} \end{align*}$

par propriété inverse sur la dérivée du produit :

$\begin{align*} - \pdv{\Pi}{x} &= T_0 \qty(\pdv[2]{y}{x} \pdv{y}{t} + \pdv{y}{t}{x} \pdv{y}{x}) \\ &= \pdv{x}(T_0 \pdv{y}{x} \pdv{y}{t}) \end{align*}$

en intégrant ce résultat :

$\Pi = -T_0 \pdv{y}{x} \pdv{y}{t} + \Pi_0\textrm{.}$

On choisira la constante d’intégration comme étant le vecteur nul. Pour une onde progressive harmonique :

$y(x, t) = y_0 \cos(\omega (t - \tfrac{x}{c}))\textrm{,}$

on obtient :

$\Pi = - T_0 \frac{y_0^2 \omega^2}{c} \sin[2](\omega (t - \tfrac{x}{c})) = \fof(t - \tfrac{x}{c})\textrm{,}$

la densité d’énergie se propage donc à la vitesse dans la même direction que l’onde.

Pour le câble coaxial : $e_C = \frac{\Gamma}{2} u^2$ et $e_L = \frac{\Lambda}{2} i^2$ .

$\pdv{e}{t} = \pdv{t}(\frac{\Gamma}{2} u^2 + \frac{\Lambda}{2} i^2) = \Gamma u \pdv{u}{t} + \Lambda i \pdv{i}{t}\textrm{,}$

or, les équations différentielles couplées sont :

$\begin{align*} \pdv{u}{x} &= - \Lambda \pdv{i}{t} \\ \pdv{i}{x} &= - \Gamma \pdv{u}{t} \end{align*}$

alors :

$\pdv{e}{t} = u \pdv{i}{x} + i \pdv{u}{x} = \pdv{x}(ui) \implies \Pi = ui\textrm{,}$

à nouveau, pour une onde progressive harmonique :

$\Pi \propto \sin[2](\omega (t - \tfrac{x}{c})) = \fof(t - \tfrac{x}{c})\textrm{,}$

Réflexion d’ondes progressives [1]

Forme mathématique, conditions aux limites

Forme mathématique de l’onde réfléchie

Pour étudier les ondes progressives nous avons tout à l’heure dû faire l’hypothèse que les ondes ne se propageaient que dans une direction $(f \neq 0, g = 0)$ ; donc qu’il n’y avait ni réflexion ni autres sources.

Ces hypothèses nous plaçaient dans un cadre mathématique simple avec une seule fonction à étudier. Dans cette deuxième partie on propose une hypothèse différente : nous admettons que la réflexion en x = L est parfaite de sorte que l’onde qui se propage dans un sens prend la même forme que celle qui se propage dans l’autre sens, mais avec un signe opposé :

$g(t + \tfrac{L}{c}) = - f(t - \tfrac{L}{c})\textrm{.}$

On impose donc un lien entre et en quelque soit . Pour connaître l’amplitude de l’onde réfléchie en $x \neq L$ à l’instant , on doit chercher à quel instant elle a été générée en x' = L :

$\begin{align*} g(t + \tfrac{x}{c}) &= - f(t' - \tfrac{x'}{c}) \\ t + \tfrac{x}{c} &= t' - \tfrac{L}{c} \\ t + \tfrac{x + L}{c} &= t' \\ \implies g(t + \tfrac{x}{c}) &= - f(t + \tfrac{x + L}{c} - \tfrac{x'}{c}) \\ \implies g(t + \tfrac{x}{c}) &= - f(t + \tfrac{x - 2L}{c}) \end{align*}$

Onde résultante

L’amplitude effectivement mesurée en un point de la corde à un instant donné est :

$y(x, t) = f(t - \tfrac{x}{c}) - f(t + \tfrac{x - 2L}{c})\textrm{.}$

En particulier, au point x = L où se fait la réflexion on a y(L, t) = 0 .

Ondes harmoniques

Pour une onde incidente harmonique :

$\begin{align*} y(x, t) &= y_0 [ \cos(\omega (t - \tfrac{x}{c})) - \cos(\omega (t + \tfrac{x - 2L}{c})) ] \\ &= 2 y_0 \cos(\omega t - \tfrac{L}{c}) \cos(\tfrac{\omega}{c} x + \tfrac{L}{c}) \end{align*}$

Ondes stationnaires [2]

Caractéristiques

En considérant deux ondes progressives harmoniques et de même pulsation, vitesse, amplitude mais de direction de propagation opposées, on trouve que l’onde résultante prend la forme :

$y(x, t) = 2 y_0 \cos(\omega t + \phi) \cos(\tfrac{\omega}{c} x + \psi)\textrm{.}$

L’amplitude y(x, t) s’écrit comme le produit d’une fonction périodique du temps et d’une fonction périodique de l’espace. Contrairement aux ondes progressives et dont l’amplitude dépend de $t - \tfrac{x}{c}$ , les variables de temps et d’espace sont maintenant séparées.

Nœuds et ventres

Le facteur $\cos(\tfrac{\omega}{c} x + \phi)$ s’annule pour des positions précises, que l’on appelle nœuds et prend sa valeur maximale pour des positions que l’on appelle ventres. Le facteur $\cos(\omega t + \psi)$ fait varier l’amplitude des ventres au cours du temps. Pour alléger les expressions, on prend $\phi = 0 = \psi$ .

Les ventres sont situés aux positions telles que :

$\cos(\tfrac{\omega}{c} x) = 1 \implies \tfrac{\omega}{c} x = n \pi \implies x = \tfrac{c n \pi}{\omega} = \tfrac{n \lambda}{2}\textrm{,}$

et les nœuds :

$\cos(\tfrac{\omega}{c} x) = 0 \implies \tfrac{\omega}{c} x = \qty(n + \tfrac{1}{2}) \pi \implies x = \tfrac{c n \pi}{\omega} + \tfrac{c \pi}{2 \omega} = \tfrac{n \lambda}{2} + \tfrac{\lambda}{4}\textrm{.}$

La distance entre deux nœuds ou entre deux ventres consécutifs est $\frac{\lambda}{2}$ , et la distance entre un nœud et un ventre consécutifs est $\frac{\lambda}{4}$ .

Aspect énergétique

Montrer que l’énergie ne se propage pas : $\avg{\vb{\vb{\Pi}}} = \vb{0}$ .