LP25 : Ondes acoustiques

Niveau : Cette leçon se situe à la limite extérieure du programme de PSI, puisqu’on démontre les expressions de $\vb{\Pi}$ et .

Prérequis :

Thermodynamique
Mécanique des fluides (description eulérienne)
Notions d’électromagnétisme (Poynting, OPPH)
Équation de D’Alembert

On se restreint aux ondes sonores dans les fluides et d’amplitude associées à la perception humaine. Donc pas les ondes dans les solides, ni les gros boum.

Parler plus précisément des émetteurs et des capteurs (façon [1], ou LP33) ?

Équation de propagation des ondes acoustiques [1]

Grandeurs dynamiques

Concernant les ondes acoustiques la grandeur qui se propage est, essentiellement, une variation locale de pression. Les sons sont produits par une compression locale du fluide, qui va à son tour comprimer le fluide avoisinant, et ainsi de suite.

Faire une petite animation.

Une variation de pression est associée à une variation de masse volumique ; le fluide étant mis en mouvement nous pourons considérer une variation locale de vitesse. Concrètement, en se placant dans le référentiel dans lequel le fluide est à l’équilibre en absence d’onde sonore, nous décrivons le fluide par :

$\begin{alignat*}{3} p(M, t) &= p_0 &+ p_1(M, t) \\ \mu(M, t) &= \mu_0 &+ \mu_1(M, t) \\ \vb{v}(M, t) &= \vb{0} &+ \vb{v}_1(M, t) \end{alignat*}$

Les grandeurs indicées sont celles d’équilibre alors que celles indicées sont celles dues à l’onde.

Nous avons pensé judicieux de décrire le fluide avec trois grandeurs. Nous devons alors trouver trois équations pour résoudre le problème.

Équations de la dynamique des fluides

Équation d’Euler

Nous allons supposer un fluide parfait dans lequel l’écoulement est isentropique (pas de viscosité, ni de transfert thermique : les variations sont suffisamment rapides pour que ces effets soient négligeables). Cette hypothèse sera justifiée a posteriori.

On étudie une particule fluide soumise à l’action de la pesanteur, à la poussée d’Archimède, et aux forces de pression horizontales. Pour simplifier notre approche, nous allons négliger les effets de pesanteur sur le fluide parfait (propagation horizontale des ondes).

L’équation d’Euler s’écrit :

$\dv{\mu\vb{v}}{t} = \pdv{\mu\vb{v}}{t} + \qty(\vb{v} \dotproduct \grad) (\mu\vb{v}) = - \grad p\textrm{.}$

Équation de continuité

La conservation de la masse va s’écrire :

$\pdv{\mu}{t} + \div(\mu \vb{v}) = 0\textrm{.}$

Équation d’état

On rappelle qu’une équation d’état est une équation qui lie les variables d’état à l’équilibre du système. Nous souhaitons ici une équation liant $\mu$ à , toujours dans le cadre de petites variations nous pourrons supposer un lien de proportionnalité donné par le coefficient de compressibilité isentropique :

$\chi_s = \frac{1}{\mu} \eval{{\pdv{\mu}{p}}}_s \implies \chi_s \approx \frac{1}{\mu} \frac{\mu_1}{p_1} \implies \mu_1 \approx \chi_s (\mu_0 + \mu_1) p_1 \approx \chi_s \mu_0 p_1\textrm{.}$

Linéarisation des équations

Les variations relatives des grandeurs $\mu$ , , et sont suffisamment faibles de sorte que l’on écrive : $\mu_1 \ll \mu_0$ , et $p_1 \ll p_0$ . Cette hypothèse sera justifiée a posteriori. Le développement de ces grandeurs dans les équations précédentes donne :

$\begin{gather*} \pdv{\mu_0 \vb{v}_1}{t} + \underbrace{\cancel{ \pdv{\mu_1 \vb{v}_1}{t} + \qty(\vb{v} \dotproduct \grad) (\mu\vb{v}) }}_{\textrm{ordre 2}} = - \underbrace{\cancel{\grad p_0}}_{\vb{0}} - \grad p_1 \\ \underbrace{\cancel{\pdv{\mu_0}{t}}}_{0} + \pdv{\mu_1}{t} + \div(\mu_0 \vb{v}_1) + \underbrace{\cancel{\div(\mu_1 \vb{v}_1)}}_{\textrm{ordre 2}} = 0 \end{gather*}$

dans le cadre d’un développement au premier ordre nous gardons donc :

$\mu_0 \pdv{\vb{v}_1}{t} = - \grad p_1 \qq{et} \pdv{\mu_1}{t} + \mu_0 \div \vb{v}_1 = 0 \qq{et} \mu_1 = \chi_s \mu_0 p_1\textrm{.}$

Bilan des hypothèses : approximation acoustique

Nous avons été amenés à faire quelque hypothèses qui ensemble portent le nom d’approximation acoustique :

Le fluide dans lequel l’onde se propage est un fluide parfait.
On néglige les effets de pesanteur sur le fluide.
Les variations relatives de $\mu$ et sont petites.

Équation de D’Alembert

Notre système d’équations mène à :

$\begin{equation*} \left.\begin{array}{r} \left\{\begin{array}{c} \displaystyle \pdv{\mu_1}{t} + \mu_0 \div \vb{v}_1 = 0 \\ \displaystyle \mu_1 = \chi_s \mu_0 p_1 \end{array}\right. \implies \displaystyle \chi_s\mu_0\pdv{p_1}{t} + \mu_0 \div \vb{v}_1 = 0 \\ \displaystyle \mu_0 \pdv{\vb{v}_1}{t} = - \grad p_1 \end{array}\right\} \implies \begin{array}{l} \displaystyle \mu_0 \chi_s \pdv[2]{p_1}{t} - \laplacian p_1 = 0 \\ \qq{ou} \\ \displaystyle \mu_0 \chi_s \pdv[2]{\vb{v}_1}{t} - \laplacian \vb{v}_1 = 0 \\ \qq{ou} \\ \displaystyle \mu_0 \chi_s \pdv[2]{\mu_1}{t} - \laplacian \mu_1 = 0 \end{array} \end{equation*}$

On reconnait une équation de D’Alembert pour des ondes sonores qui se propagent à la célérité $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \chi_s}}$ , et l’on justifie ici que les ondes sonores sont souvent qualifiées de « ondes de pression » ou « ondes de densité ».

Célérité

Il y a certainement des choses à dire sur la dispersion. En particulier concernant les exemples avec l’hélium et l’argon.

Gaz parfaits

Dans l’étude des gaz parfaits, l’hypothèse isentropique doit rappeler la loi de Laplace : $pV^\gamma = \cst$ . De cette loi on déduit directement $p\mu^{-\gamma} = \cst$ puis, par dérivation logarithmique :

$\frac{\dd p}{p} = \gamma \frac{\dd \mu}{\mu} \implies \frac{p_1}{p_0} = \gamma \frac{\mu_1}{\mu_0}$

finalement, avec T_0 la température et la masse molaire du gaz, la loi des gaz parfait et l’une des relations précédentes permettent d’obtenir :

$\chi_s = \frac{1}{\gamma p_0} \implies c = \sqrt{\frac{\gamma p_0}{\mu_0}} = \sqrt{\frac{\gamma R T_0}{M}}\textrm{.}$

$\begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{cSSSSc} Gaz & {$M$ (\si{\gram\per\mol})} & {$T_0$ (\si{\degreeCelsius})} & {$\gamma$ [@lange]} & {$c$ (\si{\meter\per\second}) [@handbook]} \\ hélium & 4.00 & 20 & 1.660 & 264 \\ air sec & 28.97 & 0 & 1.403 & 332 \\ air sec & 28.97 & 20 & 1.400 & 343 \\ air saturé en eau & & 20 & 1.400 & 345 \\ dioxygène & 31.99 & 20 & 1.400 & 326 \\ argon & 39.95 & 20 & 1.670 & 323 \\ \end{tabular} \end{table}$

On constate qu’à $\gamma$ constant, la célérité est plus faible dans les gaz plus « lourds ». En particulier humidifier l’air apporte de l’eau, ce qui diminue ( $M_{\ce{H2O}} = \SI{18}{\gram\per\mol}$ ), donc augmente .

Liquides

Pour les liquides, l’ordre de grandeur de est différent :

$\begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{cSSSScl} Fluide & {$\mu_0$ (\si{\kilogram\per\meter\cubed})} & {$\chi_s$ (\si{\per\pascal})} & {$c$ (\si{\meter\per\second}) [@handbook]} \\ eau & 1000 & 5e-10 & 1410 \\ eau de mer & & & 1449 \\ acétone & & & 1203 \\ \end{tabular} \end{table}$

Solides

En dehors du cadre de notre étude, on peut donner quelque valeurs :

Dans les solides, les ondes acoustiques peuvent être longitudinales mais aussi transversalles, les deux types d’ondes ne se propagent pas avec la même célérité. On donne ici les célérités longitudinales.

$\begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{cS} Solide & {$c$ (\si{\meter\per\second}) [@handbook]} \\ aluminium & 6420 \\ cuivre & 5010 \\ acier ($\SI{1}{\percent}\ce{C}$) & 5940 \\ verre (pyrex) & 5640 \\ caoutchouc & 1550 \\ polystyrène & 2350 \\ \end{tabular} \end{table}$

Ces valeurs donnent une idée de l’ordre de grandeur, mais sont variables.

Aspect énergétiques

Densité d’énergie et flux d’énergie

Les ondes transportent de l’énergie. On note $\vb{\Pi}$ et l’on appelle vecteur de Poynting, le vecteur associé aux flux d’énergie porté par l’onde. Sa norme est homogène à des $\si{\watt\per\meter\squared}$ et sa direction est celle de propagation de l’énergie.

Dans le cas des ondes acoustiques les forces de pressions qui s’exercent entre particules fluides voisines sont associées à une puissance surfacique v p_1 de sorte que, finalement, $\vb{\Pi} = \vb{v} p_1$ . L’équation de continuité pour la densité d’énergie doit s’écrire :

$\begin{alignat*}{2} \pdv{e}{t} = - \div \vb{\Pi} &= p_1 \div \vb{v}_1 &&+ \vb{v}_1 \grad p_1 \\ &= p_1 \qty(- \chi_s \pdv{p_1}{t}) &&+ \vb{v}_1 \qty(- \mu_0 \pdv{\vb{v}_1}{t}) \end{alignat*}$

d’où :

$\div \vb{\Pi} = - \pdv{t}(\frac{\chi_s p_1^2}{2} + \frac{\mu_0 v_1^2}{2})\textrm{.}$

On reconnait la densité d’énergie cinétique, et on déduit l’expression de la densité d’énergie potentielle :

$e_c = \frac{1}{2} \mu_0 v_1^2 \qq{et} e_p = \frac{1}{2} \chi_s p_1^2\textrm{.}$

Niveau sonore

Les résultats de cette section sont valables pour les OPPH, dont on discutera juste après s’il reste du temps. On arrive à l’expression suivante simplement si l’on exprime et pour les OPPH. Comme c’est un petit calcul simple à faire et dont on a l’habitude avec l’électromagnétisme je ne le traite pas tout de suite dans le cadre de cette présentation, même si il apporte d’autres informations importantes.

La valeur moyenne du vecteur de Poynting donne l’intensité sonore :

$I \defeq \avg{\norm{\vb{\Pi}}} = \frac{1}{2} \mu_0 c v_{10}^2\textrm{,}$

c’est à cette grandeur que l’oreille humaine est sensible, mais la perception est logarithmique de sorte que l’on définisse le niveau sonore en décibel, relatif au seuil d’audibilité de l’oreille humaine I_0 :

$I_{\si{\decibel}} = 10 \log(\frac{I}{I_0}) \qq{avec} I_0 = \SI{e-12}{\watt\per\meter\squared}\textrm{.}$

$\begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{cSSSSS} {} & {$I$ (\si{\watt\per\meter\squared})} & {$I_{\si{\decibel}}$ (\si{\decibel})} & {$p_1$ (\si{\pascal})} & {$\mu_1$ (\si{\kilo\gram\per\meter\cubed})} & {$v_1$ (\si{\meter\per\second})} \\ Seuil auditif (\SI{2}{\kilo\hertz}) & e-12 & 0 & e-5 & e-10 & e-7 \\ Chuchottement & e-11 & 10 & e-4 & e-9 & e-7 \\ Campagne & e-9 & 30 & e-3 & e-8 & e-6 \\ Avenue & e-4 & 80 & e-1 & e-6 & e-3 \\ Marteau piqueur & e-2 & 100 & {1} & e-5 & e-3 \\ Seuil de douleur & {1} & 120 & e1 & e-4 & e-2 \\ Ambiant ($p_0$, $\mu_0$) & & & {$p_0 \approx \num{e5}$} & {$\mu_0 \approx \num{1}$} & \\ \end{tabular} \end{table}$

Justification des hypothèses avancées

Il faut absolument traiter cette partie.

Surpression, surdensité, vitesse

Le tableau précédent dans lequel des ordres de grandeur sont présentés permet de conclure que les hypothèses $p_1 \ll p_0$ et $\mu_1 \ll \mu_0$ sont validées.

Abscence de transfert thermique

Pour une onde de pulsation , le transfert thermique est lié aux variations de température associées aux variations de pression.

-La diffusion thermique est caractérisée par le coefficient de diffusion et se fait sur des distances de l’ordre de $\sqrt{\flatfrac{D}{f}}$ . - Les zones de surperession et souspression sont séparées de $\flatfrac{\lambda}{2} = \flatfrac{c}{2f}$ .

Le transfert thermique par diffusion est négligeable si :

$\sqrt{\flatfrac{D}{f}} \ll \frac{c}{2f} \implies f \ll \frac{c^2}{4D}\textrm{.}$

On peut faire quelque applications numériques, et l’on remarque que le domaine audible (jusqu’à ) vérifie largement l’inégalité.

$\begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{lSSS} Fluide & {$c$ (\si{\meter\per\second})} & {$D$ (\si{\meter\squared\per\second})} & {$\flatfrac{c^2}{4D}$ (\si{\hertz})} \\ Air & 340 & 2e-5 & 1e10 \\ Eau & 1500 & 1e-7 & 5e12 \\ \end{tabular} \end{table}$

Propagation des ondes planes [1]

Relation de dispersion

En représentation harmonique, l’équation de D’Alembert donne, avec :

$\z{p_1} = p_{10} e^{i (\omega t - \vb{k} \vb{r})} \qquad \z{\vb{v}_1} = \vb{v}_{10} e^{i (\omega t - \vb{k} \vb{r})} \qquad \z{\mu_1} = \mu_{10} e^{i (\omega t - \vb{k} \vb{r})}\textrm{,}$

pour la convention de signe, puis :

$\omega^2 \z{p_1} - \frac{\vb{k}^2}{c^2} \z{p_1} = 0\textrm{,}$

d’où la relation de dispersion :

$c = \pm \frac{\omega}{k}\textrm{,}$

le signe est à choisir selon la direction de propagation. La propagation est ici non dispersive, ce résultat est conséquence de notre hypothèse sur la linéarité de l’équation d’état.

Caractère longitudinal

L’équation d’Euler au premier ordre devient :

$\mu_0 \omega \z{\vb{v}_1} = \vb{k} \z{p_1}\textrm{,}$

les vecteurs $\vb{v}_1$ (qui représente le déplacement des particules fluide) et $\vb{k}$ (vecteur d’onde) sont colinéaires : les ondes acoustiques dans les fluides sont longitudinales.

Énergie cinétique et potentielle

Nous avons établi la relation $\mu_0 \omega v_1 = k p_1$ qui donne un lien entre la surpression et la vitesse des particules :

$v_1 = \frac{k}{\omega \mu_0} p_1 = \frac{1}{c \mu_0} p_1 = \sqrt{\frac{\chi_s}{\mu_0}} p_1\textrm{,}$

de cela on déduit :

$e_c = \frac{1}{2} \chi_s p_1^2 = \frac{1}{2} \mu_0 v_1^2 = e_p = \frac{e}{2}\textrm{.}$

Pour les OPPH l’énergie est équitablement répartie entre l’énergie potentielle et l’énergie cinétique. En valeur moyenne pour la densité d’énergie on a localement :

$\avg{e} = \avg{\mu_0 v_1^2} = \frac{1}{2} \mu_0 v_{10}^2 = \frac{1}{2} \chi_s p_{10}^2\textrm{.}$

Impédances, dioptres

Normalement on a pas le temps d’arriver là