LP27 : Propagation guidée des ondes

Intérêt du guidage

Notions pour le guidage [1] [2] [3] [4]

Réflexion d’une onde sur une surface

Montrer que lors de la réflexion d’une onde incidente sur un plan un front d’onde résultant se propage parallèlement au plan.

Onde guidée

Une onde se propage dans la direction $\vu{z}$ dans une région de l’espace infinie, d’axe $\vu{z}$ délimitée par des surfaces réfléchissantes.

Équation de Helmoltz

Les champs peuvent s’écrire dans le cas général :

$\begin{align*} \vb{\mathcal{E}}(x, y, z, t) &= \vb{E}(x, y) e^{i(\omega t - k_z z)} \\ \vb{\mathcal{B}}(x, y, z, t) &= \vb{B}(x, y) e^{i(\omega t - k_z z)} \end{align*}$

L’équation de propagation pour $\vb{E}$ est celle de D’Alembert :

$\laplacian\vb{\mathcal{E}} - \frac{1}{c^2} \pdv[2]{\vb{\mathcal{E}}}{t} = \vb{0} \implies \laplacian\vb{\mathcal{E}} + \frac{\omega^2}{c^2} \vb{\mathcal{E}} = \vb{0} \textrm{,}$

or les dérivées spatiales donnent :

$\laplacian\vb{\mathcal{E}} = \laplacian\vb{E} \cdot e^{i(\omega t - k_z z)} - k_z^2 \vb{\mathcal{E}}\textrm{,}$

donc l’équation de propagation devient :

$\laplacian\vb{E} + \qty(\frac{\omega^2}{c^2} - k_z^2) \vb{E} = \vb{0}\textrm{,}$

c’est l’équation de Helmoltz. Pour la propagation du champ magnétique on obtient la même équation.

Solutions transverses

Dans le cas général on peut décomposer $\vb{E}$ et $\vb{B}$ en une composante tangentielle et une composante longitudinale vis-à-vis de la propagation :

$\vb{E} = \vb{E}_t(x,y) + E_z(x,y) \vu{z} \qq{et} \vb{B} = \vb{B}_t(x,y) + B_z(x,y) \vu{z}\textrm{.}$

On appelle transverse électriques les solutions pour lesquelles la composante E_z est nulle et transverse magnétique les solutions pour lesquelles la composante B_z est nulle. Ces solutions sont plus simples à étudier que les solutions générales.

Guide d’onde rectangulaire [5]

Description

On étudie un guide d’onde illimité dans la direction $\vu{z}$ dont la section droite est rectangulaire ( 0 < x < a et 0 < y < b ) et délimitée par des surfaces parfaitement conductrices. On assimile le milieu intérieur au vide.

On commence l’étude avec une onde qui vérifie $\vb{E} = E_0(x,y) \vu{y}$ qui en plus d’être transverse électrique s’accorde bien avec la symétrie du problème.

Conditions aux limites pour les champs

Les conditions aux limites pour le champ électromagnétique sont associées aux relations de passage aux surfaces :

$\begin{align*} \delta \vb{\mathcal{E}} &= \frac{\sigma}{\epsilon_0} \vb{n} \\ \delta \vb{\mathcal{B}} &= \mu_0 \vb{j_s} \crossproduct \vb{n} \end{align*}$

Pour le champ électrique considéré ici les surfaces des conducteurs imposent donc :

$E_0(x = 0, y) = 0 = E_0(x = a, y)\textrm{.}$

Forme des champs en solution TE

Champ $\vb{\mathcal{E}}$

Comme $\div\vb{\mathcal{E}} = 0$ on va pouvoir simplifier l’équation de propagation :

$\div\vb{\mathcal{E}} = e^{i(\omega t - k_z z)} \cdot \div\vb{E} + \vb{E} \dotproduct \grad(e^{i(\omega t - k_z z)})$

le gradient dans le deuxième terme est parallèle à $\vu{z}$ donc il reste :

$e^{i(\omega t - k_z z)} \cdot \div\vb{E} = 0 \implies \div\vb{E} = 0 \implies \pdv{E_0(x, y)}{y} = 0\textrm{,}$

on trouve que E_0 ne dépend en fait pas de . Alors l’équation de propagation est :

$\pdv[2]{E_0}{x} + \qty(\frac{\omega^2}{c^2} - k_z^2) E_0 = \vb{0}$

Cette équation différentielle est connue, ses solutions sont de différents types, en posant $k^2 \defeq \flatfrac{\omega^2}{c^2} - k_z^2$ les solutions sont :

$\begin{align*} \frac{\omega^2}{c^2} - k_z^2 < 0 &\implies E_0(x) = C e^{-k x} \\ \frac{\omega^2}{c^2} - k_z^2 > 0 &\implies E_0(x) = A \cos(k x) + B \sin(k x) \end{align*}$

Pour ne garder que des solutions compatibles avec les conditions aux limites, on ne retient que le cas oscillant où $k_z^2 < \flatfrac{\omega^2}{c^2}$ , et on doit poser A = 0 avec $ka = p\pi, p \in \mathbb{N}$ . Finalement, le champ électrique $\vb{\mathcal{E}}$ présent dans le guide va pouvoir se décomposer sur la base des solutions qui s’écrivent :

$\vb{\mathcal{E}}_p(x, y, z, t) = E_{p,0} \sin(\frac{p \pi x}{a}) e^{i(\omega t - k_z z)} \vu{y}\textrm{,}$

ces solutions constituent l’ensemble des modes TE pour une onde de pulsation $\omega$ . L’onde est progressive selon $\vu{z}$ et stationnaire selon $\vu{x}$ ; dans les plans où $z = \cst$ l’amplitude varie.

Champ $\vb{\mathcal{B}}$

L’équation de Helmoltz étant valable pour $\vb{B}$ et les conditions aux limites étant connues on pourrait procéder de la même manière pour déterminer la forme de $\vb{B}_p$ . Mais l’équation de Maxwell-Faraday permet d’arriver au résultat plus rapidement :

$\begin{align*} \pdv{\vb{\mathcal{B}}_p}{t} &= - \curl\vb{\mathcal{E}}_p \\ &= \qty(- \pdv{z} \vu{x} + \pdv{x} \vu{z}) \mathcal{E}_y \end{align*}$

Après dérivations puis intégration on trouve :

$\vb{\mathcal{B}}_p = - E_{p,0} \qty( \frac{k_z}{\omega} \sin(\frac{p\pi x}{a}) \vu{x} + i \frac{p\pi}{\omega a} \cos(\frac{p\pi x}{a}) \vu{z} ) e^{i(\omega t - k_z z)}\textrm{.}$

Structure de l’onde électromagnétique

Contrairement à ce que l’on trouve pour la propagation libre des ondes électromagnétiques, l’onde obtenue ici n’est pas plane (on en a déjà discuté) mais en plus n’est pas transverse (on n’a pas $\vb{E} \perp \vb{B} \perp \vb{k}$ ) puisque la partie magnétique porte une composante selon $\vu{z}$ . Le vecteur de Poynting lui, est bien dirigé selon $\vu{z}$ .

La structure de l’onde ne dépend pas que du milieu, mais aussi des conditions aux limites.

Vérifier dans quelle mesure la forme des champs en solution TM est semblable (la relation de dispersion est la même).

Dispersion

On a trouvé lors de l’exploitation des conditions aux limites la relation de dispersion :

$k_z^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - k^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \qty(\frac{p\pi}{a})^2\textrm{,}$

le guide d’onde est donc dispersif même si l’onde se propage dans le vide à l’intérieur. Pour garder k_z réel on a une pulsation de coupure pour chaque mode :

$\omega_{c,p} = \frac{p\pi c}{a}\textrm{,}$

les k_z s’écrivent alors :

$k_z^2 = \frac{\omega^2 - \omega_{c,p}^2}{c^2}\textrm{,}$

\pyimgen{guide_donde_dispersion}
\pyimgen{guide_donde_paquet_donde}

Modèles équivalents

Courants et charges en surface

On ne pourra pas trouver un modèle similaire au câble coaxial puisque ici il n’y a qu’un seul conducteur.

Solutions en ondes planes

Rayons lumineux ?