LP28 : Ondes électromagnétiques dans les milieux diélectriques

Prérequis :

Électrostatique : $\vb{D} = \epsilon_0 \vb{E} + \vb{P}$
Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide

Dans le cours d’électrostatique nous avons vu que la présence d’un diélectrique dans un condensateur modifiait sa capacité, car le milieu se polarisait ce qui avait pour effet de modifier le champ électrique qui y était présent.

Nous avons déjà étudié la propagation des ondes électromagnétiques dans le vide. Puisque la présence d’un diélectrique influe sur le champ électrique, on peut supposer que la présence d’un diélectrique va influer sur la propagation des ondes.

On propose d’essayer une expérience bien connue : on place un prisme sur le chemin d’un faisceau lumineux.

Équations de Maxwell dans les milieux diélectriques

On rappelle les équations de Maxwell dans la matière :

$\begin{gather*} \div{\vb{D}} = \rho_{\textrm{libre}} \qq{} \curl{\vb{E}} = - \pdv{\vb{B}}{t} \\ \div{B} = 0 \qq{} \curl{\vb{H}} = \mu_0 \vb{j}_{\textrm{libre}} + \pdv{\vb{D}}{t} \end{gather*}$

avec les vecteurs déplacement électrique et excitation magnétique qui sont liés à la polarisation et à l’aimantation selon :

$\vb{D} = \epsilon_0 \vb{E} + \vb{P} \qq{et} \vb{H} = \frac{\vb{B}}{\mu_0} - \vb{M}\textrm{.}$

Dans un milieu diélectrique non magnétique parfaitement isolant, les seules charges présentes sont les charges de polarisation, de même que les seuls courants présents sont les courants de polarisation. On peut donc réécrire :

$\begin{gather*} \div\vb{D} = 0 \qq{} \curl{\vb{B}} = \mu_0 \pdv{\vb{D}}{t} \\ \div\vb{B} = 0 \qq{} \curl{\vb{E}} = - \pdv{\vb{B}}{t} \end{gather*}$

On se trouve ici avec un vecteur $\vb{D}$ qui est la seule différence que l’on va faire entre le vide et les diélectriques. On connait $\vb{D} = \epsilon_0 \vb{E} + \vb{P}$ , mais nous n’avons pas d’expression pour $\vb{P}$ .

On pourrait se lancer dans une étude abstraite de la propagation des ondes en proposant une relation de structure très générale comme :

$\vb{P} = \epsilon_0 [\chi_1(r, \omega)] \vb{E} + \epsilon_0 [\chi_2(r, \omega)] \vb{E} \vb{E} + \dots\textrm{,}$

mais on préfère développer un modèle microscopique qui permettra de justifier des approximations et les nouvelles notions (notamment le $\z{n} = n' + i n''$ complexe).

Modèle microscopique de la polarisation

Modèle de l’électron élastiquement lié (polarisation électronique)

Aller vite, tracer $\chi'$ et $\chi''$ .

Donner des ordres de grandeur !

Autres types de polarisation

Quelque mots ou des schémas seulement.

Polarisation ionique

Polarisation de rotation

Propagation des ondes électromagnétiques dans les diélectriques

Équation de propagation

Pour une onde de pulsation $\omega$ connue, on peut calculer d’une part :

$\curl(\curl{\z{\vb{E}}}) = \curl(- \pdv{\z{\vb{B}}}{t}) = - \mu_0 \epsilon(\omega) \pdv[2]{\z{\vb{E}}}{t}\textrm{,}$

et écrire d’autre part :

$\begin{align*} \curl(\curl{\z{\vb{E}}}) &= \grad(\div\z{\vb{E}}) - \laplacian{\z{\vb{E}}} \\ &= \frac{1}{\epsilon} \grad(\div\z{\vb{D}}) - \laplacian{\z{\vb{E}}} \\ &= - \laplacian{\z{\vb{E}}} \end{align*}$

on obtient alors une équation de D’Alembert pour le vecteur $\z{\vb{E}}$ :

$\laplacian{\z{\vb{E}}} - \mu_0 \epsilon(\omega) \pdv[2]{\z{\vb{E}}}{t} = 0\textrm{.}$

Cette relation est très similaire à celle que l’on trouve dans le vide, la seule modification étant la vitesse de propagation :

$\laplacian{\z{\vb{E}}} - \frac{\epsilon_r(\omega)}{c^2} \pdv[2]{\z{\vb{E}}}{t} = 0\textrm{.}$

Sous cette forme, on lit que la composante électrique en représentation complexe du champ électromagnétique se propage dans les diélectriques à une vitesse : $\z{v} = {c} / {\epsilon^{1/2}_r(\omega)} \defeq c / \z{n}(\omega)$ , où l’on appelle indice optique complexe la grandeur $\z{n}(\omega)$ . En calculant de la même manière $\curl(\curl\vb{B})$ on trouverait la même équation de propagation pour la composante magnétique du champ.

Structure des ondes planes

Avec l’équation de Maxwell-Faraday :

$\curl\vb{E} = - \pdv{\vb{B}}{t} \implies i \z{\vb{k}} \cross \z{\vb{E}} = i \omega \z{\vb{B}}\textrm{,}$

on trouve que les vecteurs $\vb{k}$ , $\vb{E}$ et $\vb{B}$ forment un trièdre direct, comme dans le vide. Puisque $\vb{D}$ et $\vb{E}$ sont colinéaires, $\vb{D}$ forme aussi un trièdre avec les deux autres vecteurs.

Dispersion et atténuation

On rappelle que l’on considère des ondes planes pour lequelles on utilise la représentation harmonique :

$\z{\vb{E}} = \z{\vb{E}}_0 e^{i (\omega t - \z{\vb{k}} \vb{r})} \qq{et} \z{\vb{B}} = \z{\vb{B}}_0 e^{i (\omega t - \z{\vb{k}} \vb{r})}\textrm{.}$

Avec l’équation de D’Alembert qui donne la relation de dispersion :

$\z{\vb{k}}^2 = \frac{\z{n}^2(\omega)}{c^2} \omega^2 \implies \z{\vb{k}} = \frac{\omega \z{n}(\omega)}{c} \vb{u}\textrm{,}$

on obtient pour les champs, dans le cas d’une propagation unidirectionnelle où $\z{\vb{k}} \vb{r} = \z{k} r$ :

$\z{\vb{E}} = \z{\vb{E}}_0 e^{i \omega \qty(t - r \flatfrac{\z{n}(\omega)}{c})} \qq{et} \z{\vb{B}} = \z{\vb{B}}_0 e^{i \omega \qty(t - r \flatfrac{\z{n}(\omega)}{c})}\textrm{.}$

L’indice optique complexe $\z{n}$ pose problème car dans l’équation de D’Alembert il semble indiquer que les champs se propagent avec une vitesse complexe. Nous allons résoudre ce problème avec une interprétation correcte, écrivons : $\z{n} = n' - i n''$ . Dans ce cas :

$\begin{align*} \z{\vb{E}} = \z{\vb{E}}_0 e^{i \omega \qty(t - r \flatfrac{\z{n}(\omega)}{c})} &= \z{\vb{E}}_0 e^{i \omega t} e^{- i r \omega \flatfrac{\z{n}(\omega)}{c}} \\ &= \z{\vb{E}}_0 e^{i \omega t} e^{- i r \omega \flatfrac{n'(\omega)}{c}} e^{- r \omega \flatfrac{n''(\omega)}{c}} \end{align*}$

De cette égalité on peut exprimer le champ $\vb{E}$ réel :

$\vb{E} = E_0 e^{- r \omega \flatfrac{n''(\omega)}{c}} \cos(\omega (t - r \tfrac{n'(\omega)}{c}))\textrm{,}$

on voit ici que la partie imaginaire de l’indice optique complexe correspond à un coefficient d’atténuation de l’amplitude du champ électrique.

On peut aussi écrire l’équation de D’Alembert pour le champ électrique :

$\laplacian{\vb{E}} - \frac{n'^2(\omega)}{c^2} \pdv[2]{\vb{E}}{t} = 0\textrm{,}$

et, voire que la partie réelle de l’indice optique complexe correspond à l’indice optique de l’optique géométrique, qui donne la vitesse de propagation du champ électrique : $v(\omega) = \frac{c}{n'(\omega)}$ . Puisque dépend de $\omega$ , on peut dire que le milieu est dispersif, la relation de dispersion étant : $k'(\omega) = \frac{\omega}{c} n'(\omega)$ .

Développement limité dans le visible : loi de Cauchy

$\omega \ll \omega_0$