LP30 : Rayonnement dipolaire électrique

Niveau : L2

Prérequis :

Électromagnétisme ( $\vb{E}$ , $\vb{B}$ , , $\vb{A}$ )
Vecteur de Poynting
Dipôle électrostatique
Électron élastiquement lié

Dans les leçons précédentes, nous avons étudié l’interaction entre la lumière et les milieux : dans une description mésoscopique, nous expliquions comment le champ électromagnétique se voyait modifié en présence de matière. Notre description mettait en jeu des charges dites liées ou libres, qui par leur mouvement, étaient la source d’une réponse aux ondes de la part du matériau. L’un des phénomènes passés sous silence, est le suivant : une charge en mouvement génère autour d’elle un champ électrique et un champ magnétique, elle doit rayonner.

Dans cette leçon, nous n’étudions pas l’absorption et la dispersion des ondes dans les milieux, mais le rayonnement émis par un milieu soumis à une excitation électromagnétique. Nous travaillerons sur un modèle simple : le dipôle électrique oscillant.

Champs $\vb{E}$ et $\vb{B}$ d’un dipôle électrique oscillant [1] [2]

Modèle et approximation dipolaire

$\begin{figure}[H] \centering \begin{tikzpicture} \coordinate (O) at (0, 0); \coordinate (P) at (0, +.5); \coordinate (M) at (9, 2); \draw (O) node[anchor=east]{$O(-q)$}; \draw (P) node[anchor=east]{$P(+q)$}; \draw (M) node[anchor=west]{$M$}; \draw[thick,->] (O) -- node[anchor=west]{$\vb{p}$} (P); \draw[color=gray,->] (O) -- node[below]{$\vb{r}$} (M); \draw[dotted,color=gray,->] (P) -- node[above]{$\vb{r^+}$} (M); \end{tikzpicture} \end{figure}$

On considère deux charges et situées en et (avec $\norm*{\va{OP}} = d$ ). Ces charges constituent un dipôle de moment dipolaire $\vb{p} = q \va{OP}$ .

On se place dans un système de coordonnées sphérique usuel de sorte que l’axe porté par $\vu{z}$ soit aligné sur $\va{OP}$ . D’où : $\vb{p} = q d \vu{z}$ .

On étudie la situation en un point de l’espace décrit par le rayon vecteur $\vb{r}$ . On définit le vecteur :

$\vb{r^+} = \va{PM}$

et l’angle :

$\theta = (\vb{p}, \vb{r})$

Dans le cadre de l’approximation dipolaire nous allons considérer $d \ll r$ , ce qui revient à observer le dipôle depuis une très grande distance. Nous avons, par géométrie :

$\vb{r^+} = \vb{r} - d\vu{z} \implies \vb{r^+}^2 = r^2 + d^2 - 2rd\cos(\theta)\textrm{.}$

Alors,

$r^+ \approx r - d\cos(\theta)$

Potentiels

Potentiel vecteur $\vb{A}$

Le potentiel vecteur retardé, définit pour une distribution de courants par :

$\vb{A}(M, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint{\frac{\vb{j}(M', t-\frac{M'M}{c})}{r}\dd V} \qq{où} \vb{j} = \vb{v} \rho\textrm{,}$

décrit le potentiel effectivement ressenti au point à l’instant , alors qu’il a été créé auparavent par l’ensembles des points de l’espace. Dans le cadre de l’approximation dipolaire, nous aurons :

$\vb{A}(M, t) = \frac{\mu_0}{4\pi r} \iiint{\vb{j}(M', t-\tfrac{M'M}{c}) \dd V}\textrm{.}$

Plus précisément dans notre situation, comme nous avons seulement deux charges ponctuelles ( $\pm q$ ) parmis lesquelles une seule () est animée d’une vitesse $\dt{\vb{d}}$ , l’intégrale vaut $q\dt{\vb{d}} = \dt{\vb{p}}$ . Nous aurons finalement :

$\vb{A}(M, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\dt{\vb{p}}(t-\tfrac{r}{c})}{r}\textrm{.}$

Potentiel scalaire

La jauge de Lorentz :

$\div{\vb{A}} = -\frac{1}{c^2}\pdv{V}{t}\textrm{,}$

permet de calculer aisément le potentiel scalaire en effet :

$\div{\vb{A}} = \pdv{A_z}{z} = \pdv{r}{z} \pdv{A_z}{r} = \frac{\mu_0\cos(\theta)}{4\pi} \qty( \frac{-\dt{p}(t-\tfrac{r}{c})}{r^2} - \frac{\dtt{p}(t-\tfrac{r}{c})}{rc})\textrm{,}$

d’où :

$\begin{align*} V(M, t) &= \frac{\mu_0\cos(\theta)}{4\pi c^2} \int \qty( \frac{\dt{p}(t-\tfrac{r}{c})}{r^2} + \frac{\dtt{p}(t-\tfrac{r}{c})}{rc} ) \dd t \\ &= \frac{\cos(\theta)}{4\pi\epsilon_0} \qty( \frac{p(t-\tfrac{r}{c})}{r^2} + \frac{\dt{p}(t-\tfrac{r}{c})}{rc} ) \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \qty( \frac{\vb{p}(t-\tfrac{r}{c})}{r^2} + \frac{\dt{\vb{p}}(t-\tfrac{r}{c})}{rc} ) \vu{r} \end{align*}$

Dans la situation stationnaire, $\dt{p} = 0$ , on retrouve les potentiels électrique et magnétique du dipôle électrique :

$\vb{A}(M, t) = \vb{0} \qq{et} V(M, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vb{p}\dotproduct\vu{r}}{r^2}\textrm{.}$

Sur l’invariance de jauge

Les équations de Maxwell :

$\begin{gather*} \div\vb{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \div\vb{B} = 0 \\ \curl\vb{E} = -\pdv{\vb{B}}{t} \\ \curl\vb{B} = \mu_0\vb{j} + \mu_0\epsilon_0 \pdv{\vb{E}}{t} \end{gather*}$

Permettent de définir et $\vb{A}$ :

$\begin{gather*} \div{\vb{B}} = \vb{0} \implies \exists \vb{A} \suchas \curl{A} = \vb{B} \\ \curl{\vb{E}} = - \pdv{\vb{B}}{t} \implies \curl(\vb{E} + \pdv{\vb{A}}{t}) = \vb{0} \implies \exists -V \suchas -\div{V} = \vb{E} + \pdv{A}{t} \end{gather*}$

de manière non univoque puisque :

$\begin{gather*} \vb{A'} = \vb{A} + \grad f \implies \curl\vb{A'} = \curl\vb{A} + \curl\grad f = \curl\vb{A} \\ \qq{laisse}\vb{B}\qq{inchangé} \\ \qq{puis} \vb{E} = -\grad{V} - \pdv{\vb{A}}{t} - \pdv{\grad f}{t} \implies \vb{E} = -\grad(V+\pdv{f}{t}) - \pdv{A}{t} \\ \qq{laisse}\vb{E}\qq{inchangé sous la condition}V' = V + \pdv{f}{t} \\ \vb{E}\qq{et}\vb{B}\qq{inchangés = physique inchangée} \end{gather*}$

Le choix de est un choix de jauge ; et comme :

$\div\vb{A'} = \div\vb{A} + \laplacian f\textrm{,}$

le choix de peut être fait indirectement en faisant un choix de $\div\vb{A'}$ : choisir $\div\vb{A'}$ c’est choisir une jauge.

On peut écrire d’une part :

$\div\vb{E} = \div(-\grad V - \pdv{\vb{A}}{t}) = - \laplacian V - \pdv{t}(\div\vb{A}) = \frac{\rho}{\epsilon_0}\textrm{,}$

et d’autre part :

$\begin{align*} \curl(\curl\vb{A}) &= \grad(\div\vb{A}) - \laplacian\vb{A} \\ &= \mu_0\vb{j} + \mu_0\epsilon_0\pdv{\vb{E}}{t} = \mu_0\vb{j} + \mu_0\epsilon_0\pdv{t}(-\grad V - \pdv{\vb{A}}{t}) \\ \implies \epsilon_0\mu_0 \pdv[2]{\vb{A}}{t} - \laplacian\vb{A} &= \mu_0\vb{j} - \grad(\mu_0\epsilon_0 \pdv{V}{t} + \div\vb{A}) \end{align*}$

On remarque que, si l’on avait telle que :

$\div\vb{A'} + \mu_0\epsilon_0\pdv{V'}{t} = 0\textrm{,}$

alors ce serait bien puisqu’on aurait :

$\begin{align*} \mu_0\epsilon_0\pdv[2]{V'}{t} - \laplacian V' &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \qq{et} \mu_0\epsilon_0\pdv[2]{\vb{A'}}{t} - \laplacian \vb{A'} &= \mu_0\vb{j} \end{align*}$

équation symétriques. On choisir donc la jauge, dite de Lorentz :

$\div\vb{A'} = - \mu_0\epsilon_0 \pdv[2]{V'}{t}\textrm{,}$

et sous cette les équations symétriques sur $\vb{A'}$ et précédentes sont vérifiées et conforme à la physique, au même titre que celles sur $\vb{A}$ et .

Ces équations s’écrivent indiférement des quantités physiques :

$\pdv[2]{\psi}{t} - c^2 \laplacian\psi = s\textrm{,}$

où est un terme « de source »… la suite dans [2] (chap. 21.2).

Champs

Champ magnétique $\vb{B}$

Vu la symétrie cylindrique du problème, nous proposons un système de coordonnées $O(\vu{\rho},\vu{\phi},\vu{z})$ et nous prévoyons que le champ magnétique sera orienté selon $\vu{\phi}$ . Les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques sont liées en particulier par :

$\begin{gather*} \vu{\rho} = \vu{r} (1 - \cos\theta) \implies \rho = r \sin\theta \end{gather*}$

Connaissant $\vb{B} = \curl{A}$ , nous pouvons écrire :

$(\curl{A}) \dotproduct \vu{\phi} = \pdv{A_r}{z} - \pdv{A_z}{\rho} = - \pdv{r}{\rho} \pdv{A_z}{r} = \sin(\theta) \frac{\mu_0}{4\pi r^2} \qty(\dt{p} + \frac{r}{c}\dtt{p})\textrm{,}$

et on en tire,

$\vb{B}(M, t) = \frac{\mu_0}{4\pi r^2} \qty( \dt{\vb{p}} + \frac{r}{c}\dtt{\vb{p}} ) \vu{r}\textrm{.}$

Champ électrique $\vb{E}$

Vu la symétrie cylindrique autour de $\vu{z}$ , nous prévoyons que le champ électrique n’aura pas de composante selon $\vu{\phi}$ . Avec $\vb{E} = - \grad{V} - \pdv{\vb{A}}{t}$ nous pouvons calculer :

$\begin{align*} E_r(M, t) &= - \pdv{V}{r} - \pdv{A_r}{t} \\ &= \frac{\cos(\theta)}{4\pi\epsilon_0} \qty( \frac{-\dt{p}}{r^2c} + \frac{-2p}{r^3} + \frac{-\dtt{p}}{rc^2} + \frac{-\dt{p}}{r^2c} ) - \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\dtt{p}\cos(\theta)}{r} \\ &= \frac{\cos(\theta)}{4\pi\epsilon_0} \qty( \frac{2p}{r^3} + \frac{2\dt{p}}{r^2c} ) \end{align*}$

puis,

$\begin{align*} E_\theta(M, t) &= - \frac{1}{r}\pdv{V}{\theta} - \pdv{A_\theta}{t} \\ &= \frac{\sin(\theta)}{4\pi\epsilon_0 r^3} \qty(p + \frac{r}{c}\dt{p}) - \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\dtt{p}\sin(\theta)}{r} \\ &= \frac{\sin(\theta)}{4\pi\epsilon_0} \qty( \frac{p}{r^3} + \frac{\dt{p}}{r^2c} + \frac{\dtt{p}}{rc^2} ) \end{align*}$

Remarquons que $\vb{E}$ (M, t) et $\vb{B}$ (M, t) sont orthogonaux.

Régime harmonique

Lorsque $a(t) = a_0 \cos(\omega t)$ , le passage en représentation complexe des grandeurs périodiques va permettre d’écrire :

$\z{p}(t) = p_0 e^{-i \omega t} \qq{} \z{p}(t' = t - \tfrac{r}{c}) = p_0 e^{-i \omega (t - \frac{r}{c})} \qq{} \dt{\z{p}} = -i \omega \z{p} \qq{} \dtt{\z{p}} = - \omega^2 \z{p}\textrm{,}$

ce qui donnera :

$\begin{align*} \z{B_\phi}(M, t) &= \frac{\sin\theta}{4\pi\epsilon_0 c^2} \qty(\frac{-i\omega}{r^2} - \frac{\omega^2}{rc}) \z{p} \\ \z{E_r}(M, t) &= \frac{2\cos\theta}{4\pi\epsilon_0} \qty( \frac{1}{r^3} + \frac{-i\omega}{r^2c} ) \z{p} \\ \z{E_\theta}(M, t) &= \frac{\sin\theta}{4\pi\epsilon_0} \qty( \frac{1}{r^3} - \frac{i\omega}{r^2c} - \frac{\omega^2}{rc^2} ) \z{p} \end{align*}$

Rayonnement à grande distance

Si l’on se place assez près du dipôle, de sorte que la durée de propagation soit petite devant la période de l’onde émise :

$\frac{r}{c} \ll \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\flatfrac{c}{\lambda}} \implies r \ll \lambda\textrm{,}$

mais en vérifiant toujours l’approximation dipolaire donc :

$d \ll r \ll \lambda\textrm{,}$

les termes en $\flatfrac{1}{r^3}$ seront dominants. Nous nous intéressons au cas contraire.

Champs à grande distance

À grande distance, $r \gg \lambda$ , les termes dominants sont ceux en $\flatfrac{1}{r}$ . Nous aurons,

$\begin{align*} \z{B_\phi}(M, t) &= - \frac{\sin\theta}{4\pi\epsilon_0} \frac{\omega^2}{rc^3} \z{p} \\ \z{E_r}(M, t) &= 0 \\ \z{E_\theta}(M, t) &= - \frac{\sin\theta}{4\pi\epsilon_0} \frac{\omega^2}{rc^2} \z{p} \end{align*}$

ce qui s’écrit vectoriellement :

$\begin{align*} \z{\vb{B}}(M, t) &= - \frac{\sin\theta}{4\pi\epsilon_0} \frac{\omega^2}{rc^3} \z{p}(t') \vu{\phi} \\ \z{\vb{E}}(M, t) &= - \frac{\sin\theta}{4\pi\epsilon_0} \frac{\omega^2}{rc^2} \z{p}(t') \vu{\theta} \end{align*}$

On on rapelle : $t' = t - \frac{r}{c}$ . Le signe n’est qu’un terme de phase vis-à-vis de la polarisation . Concernant les amplitudes : $\norm{\z{\vb{B}}} = \flatfrac{\norm{\z{\vb{E}}}}{c} \vu{\phi}$ .

Les vecteur champ électrique et champ magnétique sont en phase, ils forment un trièdre direct avec le vecteur $\vu{r}$ , et leur amplitude décroit en $\flatfrac{1}{r}$ à grande distance du dipôle : localement, nous avons une structure d’onde plane puisque le champ est presque uniforme. Le plan d’onde associé est tangeant à la sphère de rayon et centrée en .

On peut tracer l’amplitude de l’un des champs en coordonnées polaires,

Le faire !

Puissance rayonnée

Vecteur de Poynting

On définit le vecteur de Poynting :

$\vb{R} \defeq \frac{\vb{E} \crossproduct \vb{B}}{\mu_0} = \epsilon_0 c \norm{\vb{E}}^2 \vu{r} = \frac{\sin[2](\theta)}{16\pi^2\epsilon_0 c^3} \frac{ \omega^4 p_0^2}{r^2} \cos(\omega t') \vu{r}\textrm{,}$

homogène à des $\si{\watt\per\meter\squared}$ , qui indique la direction et le flux d’énergie portée par l’onde électromagnétique. Les détecteurs sont généralement sensibles à sa moyenne temporelle $\avg{\vb{R}(M)}$ :

$\avg{\vb{R}(M)} = \frac{1}{32\pi^2\epsilon_0 c^3} \qty(\frac{\omega^2 p_0 \sin\theta}{r})^2 \vu{r}\textrm{.}$

L’énergie est ainsi véhiculée selon l’axe radial $\vu{r}$ , et son flux décroit en $\flatfrac{1}{r^2}$ . Ce dernier est, en particulier, proportionel à $\sin[2](\theta)$ , donc nul le long de l’axe $\vu{z} \parallel \vb{p}$ du dipôle. On peut maintenant tracer un diagramme de rayonnement, regroupant ces informations sur un graphe :

Le faire !

Puissance totale rayonnée

La totalité de la puissance rayonnée traverse chaque surface sphérique de rayon centrée en , notée $\mathcal{S}(r)$ . On calculera donc $\mathcal{P}$ la puissance moyenne :

$\begin{align*} \mathcal{P} = \oint_\mathcal{S} \avg{\vb{R}} \dotproduct \dd\vb{\mathcal{S}} &= \frac{\omega^4 p_0^2}{32\pi^2\epsilon_0 c^3} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} \qty(\frac{\sin\theta}{r})^2 r^2 \sin\theta \dd\theta \dd\phi \\ &= \frac{\omega^4 p_0^2}{16\pi\epsilon_0 c^3} \int_{0}^{\pi} \dd\theta \sin[3](\theta) \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\omega^4 p_0^2}{3 c^3} \end{align*}$

Le résultat ne dépend, bien sûr, pas de .

Rayonnement dipolaire d’un électron atomique

Description classique de l’atome

Le modèle choisi du dipôle électrique n’est pas anodin en effet, les atomes constitués de noyaux et d’électrons (plus légers, $\flatfrac{m_n}{m_e} \approx \num{2000}$ ) vont avoir un comportement proche de celui des dipôles. Dans le modèle de l’électron élastiquement lié, on définit une force de rappel liée à l’interaction coulombienne entre le noyau et l’électron considéré, on montre que l’électron oscille autour d’une position d’équilibre à une pulsation $\omega_0$ .

Dans ce modèle, nous sommes donc contraint de considérer le rayonnement émis par l’électron. La puissance moyenne rayonnée est :

$\mathcal{P} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\omega_0^4 (-e x_0)^2}{3c^3} \textrm{,}$

avec la charge de l’électron et x_0 l’élongation de l’oscillateur. On remarquera que pour l’oscillateur harmonique, l’accélération moyenne s’écrit $a = \avg{\dtt{x_0}} = \flatfrac{- \omega_0^2 x_0}{2}$ donc $\omega^4 x_0^2 \propto a^2$ d’où $\mathcal{P} \propto a^2$ . Ce résultat se généralise au mouvement quelconques de charges accélérées, établi par Larmor en 1897, il explique le rayonnement émis par les particules dans les synchrotrons.

L’énergie émise résulte d’une transformation de l’énergie mécanique :

$\mathcal{E}_m = \frac{1}{2} m_e (\omega_0 x_0)^2 = \frac{12 \pi \epsilon_0 c^3}{\omega_0^2} \mathcal{P} \textrm{,}$

qui diminue selon :

$- \dd \mathcal{E}_m = \mathcal{P} \dd t = \frac{\omega_0^2}{12 \pi \epsilon_0 c^3} \mathcal{E}_m \dd t \defeq \frac{1}{\tau} \mathcal{E}_m \dd t \implies - \frac{\dd \mathcal{E}_m}{\mathcal{E}_m} = \frac{\dd t}{\tau} \implies \mathcal{E}_m(t) = \mathcal{E}_{m}(0) e^{\flatfrac{-t}{\tau}} \textrm{.}$

Le phénomène d’amortissement mécanique est souvent modélisé par une force de frottement fluide ( $\propto \dt{x_0}$ ), dont les conséquences sur le mouvement seraient identiques. On ne peut toutefois pas conclure sur l’émission de l’atome sans valeur de x_0 .

Diffusion du rayonnement par un atome

On considère encore un électron élastiquement lié et amorti dont l’équation du mouvement en régime libre s’écrit :

$\dtt{\z{x}} + \frac{1}{\tau} \dt{\z{x}} + \omega_0^2 \z{x} = 0 \textrm{,}$

lorsque l’électron est soumis à un champ électrique $\vb{E}$ de pulsation $\omega$ et d’amplitude E_0 , l’équation devient :

$\dtt{\z{x}} + \frac{1}{\tau} \dt{\z{x}} + \omega_0^2 \z{x} = -e \frac{E_0}{m_e} e^{-i \omega t} \textrm{,}$

on reconnait l’oscillateur harmonique amorti en régime forcé pour lequel le mouvement est décrit par :

$\z{x} = \frac{\flatfrac{-e E_0}{m_e}} {(\omega_0^2 - \omega^2) - i\flatfrac{\omega}{\tau}} e^{-i\omega t} \textrm{.}$

On comprend là que nous pourrons déterminer par une expérience de résonance, les valeurs de $\omega_0$ , $\tau$ , et donc x_0 . En effet, la puissance moyenne rayonnée par ce dipôle s’écrit :

$\mathcal{P} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\omega_0^4 (-e \abs{\z{x}})^2}{3c^3} \propto \frac{\omega^4}{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + \qty(\frac{\omega}{\tau})^2}$

\pyimgen{diffusion-dipole}

On distingue trois domaines :

$\omega \ll \omega_0$ où $\mathcal{P} \propto \omega^4 \propto \frac{1}{\lambda^4}$ , domaine de la diffusion de Rayleigh,
$\omega \gg \omega_0$ où $\mathcal{P} \approx \cst$ , domaine de la diffusion de Compton,
et le domaine intermédiaire, de diffusion résonante.

Les pulsations de lumière visible dans l’atmosphère se situent dans le domaine de diffusion de Rayleigh ( $\omega_0 \approx \SI{1e17}{\radian\per\second}$ [1]), les couleurs de courte longueurs d’onde sont donc moins diffusées que celles de longue longueur d’onde.