LP33 : Interférences à deux ondes en optique

Niveau : L2

Prérequis :

Optique géométrique
Diffraction (lycée)
Interférences (lycée)
Ondes électromagnétiques

L’optique géométrique est un très bon outil pour étudier la propagation de rayons lumineux, elle permet d’expliquer les phénomènes observés lorsque la lumière traverse des dioptres et la formation d’images. Cependant, elle ne permet pas d’expliquer tous les phénomènes.

En classe de terminale on découvre les phénomènes d’interférences : l’addition de deux ondes lumineuses ne donne pas nécessairement plus de luminosité ; on apprend que pour pouvoir observer des interférences les sources doivent avoir même longueur d’onde.

Montrer la superposition de lumière avec de la lumière blanche restreinte à une fente et filtrée :

pour deux lampes et des filtres différents,
pour deux lampes et les mêmes filtres,
pour des fentes de Young.

Cette expérience annonce les connaissances de terminale incomplètes. Dans cette leçon, nous utiliserons l’électromagnétisme comme modèle ondulatoire de la lumière pour mieux comprendre pourquoi ce que l’on apprend au lycée est vrai, et pourquoi ça n’est pas suffisant.

Il sera nécessaire d’avoir en tête des dispositifs à division du front d’onde et à division d’amplitude moins scolaires que les fentes de Young ou l’interféromètre de Michelson et le Fabry-Perrot.

Quelque mots sur les détecteurs en optique

Avant toute chose, nous devons savoir ce que l’on mesure réellement lors d’expériences en optique : ce que l’on perçoit, l’intensité lumineuse, comment est-elle liée aux quantités de l’électromagnétisme ?

Les photorécepteurs mesurent une quantité d’énergie, or l’énergie transportée par les ondes électromagnétique est liée au vecteur de Poynting. Pour des ondes monochromatiques, la norme de ce vecteur est proportionnelle à la norme du champ électrique au carré : $\norm{\vb{E}}^2$ .

Les ondes lumineuses oscillent à des fréquences de l’ordre de $\SI{e15}{\hertz}$ , donc des périodes de l’ordre de $\SI{e-15}{\second}$ . Les capteurs eux, ont des temps de réponses bien plus longs que la période des phénomènes qu’ils mesurent :

$\begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{cS[table-format=1e2]} Capteur & {Temps de réponse (\si{\second})} \\ Œil & e-1 \\ Photorésistance & e-3 \\ Phototransistor & e-6 \\ Photodiode & e-9 \\ \end{tabular} \end{table}$

Il résulte de tout cela, que la quantité I(M, t) mesurée par le capteur en à sera proportionnelle à l’énergie reçue pendant un certain temps dit temps d’intégration. On écrira :

$I(M, t) \propto \frac{1}{\tau} \int_{t-\tau}^t \vb{E}^2(M, t') \dd t'\textrm{.}$

Pour les temps de réponses indiqués, l’intégrale se rapproche de la valeur moyenne de sorte que l’on écrira :

$I(M, t) \approx \avg{\vb{E}^2(M, t)} = I(M)\textrm{.}$

On pourra se préparer à dire des choses sur l’expérience de Winer.

Superposition de deux ondes monochromatiques émises par des sources ponctuelles

Terme d’interférences

On considère deux sources ponctuelles S_1 et S_2 qui émettent des ondes lumineuses monochromatiques de pulsations $\omega_1$ et $\omega_2$ , (nombres d’ondes k_1 et k_2 ). Nous observons ces sources au point , dans une région de l’espace où nous pouvons considérer les ondes reçues comme planes. On peut alors donner une expression pour le champ électrique et l’intensité lumineuse mesurée en , en discriminant les sources :

$\begin{gather*} \vb{E}_i(M, t) = \vb{E}_{0i} \cos(\omega_i t - \phi_i(M)) \\ \phi_i(M) = k_i (S_iM) + \phi_i \\ I_i(M) = \avg{\vb{E}_{0i}^2 \cos[2](\omega_i t - \phi_i(M))} = \frac{\vb{E}_{0i}^2}{2} = I_i \end{gather*}$

Par addition, on obtient le champ électrique résultant :

$\vb{E}(M, t) = \vb{E}_{01} \cos(\omega_1 t - \phi_1(M)) + \vb{E}_{02} \cos(\omega_2 t - \phi_2(M))\textrm{.}$

La quantité mesurée ou perçue est :

$\begin{align*} I(M) = I_1 + I_2 + 2 \vb{E}_{01} \vb{E}_{02} \avg{\cos(\omega_1 t - \phi_1(M))\cos(\omega_2 t - \phi_2(M))} \end{align*}$

On constate que l’intensité lumineuse en n’est pas égale à la somme des intensités individuelles de chaque source ; le terme supplémentaire est celui qui donne naissance aux interférences. Selon les propriétés des ondes émises par chaque source, il sera plus ou moins important.

Conditions d’interférences

Polarisation

Si les source émettent des ondes électromagnétiques de sorte que $\vb{E}_1 \perp \vb{E}_2$ alors, le produit scalaire est nul, le terme d’interférences disparait.

Dans la suite, nous ne considèrerons que des sources de même polarisation.

Pulsation

Sources de pulsations différentes

Sources de pulsations différentes $\omega_1 \neq \omega_2$ , alors la valeur moyenne du produit de cosinus va être nulle :

$I(M) = I_1 + I_2\textrm{.}$

Dans cette situation, on remarque que l’on a additionné les valeurs qui auraient été mesurées individuellement pour chaque source. C’est bien que l’on a observé dans l’expérience d’introduction.

Sources de mêmes pulsations

Sources de mêmes pulsations $\omega_1 = \omega_2 = \omega$ , ( k_1 = k_2 = k ) :

$\begin{align*} I(M) &= I_1 + I_2 + \sqrt{I_1 I_2} \avg{ \cos(2 \omega t - (\phi_1(M) + \phi_2(M))) + \cos(\phi_1(M) - \phi_2(M)) } \\ &= I_1 + I_2 + \sqrt{I_1 I_2} \avg{\cos(\phi_1(M) - \phi_2(M))} \end{align*}$

Ici le terme d’interférence n’est pas nul, on voit qu’il dépend du retard existant entre la phase des ondes quand elles arrivent en , ce déphasage est lié à la différence de marche $\delta$ :

$\Delta\phi(M) \defeq \phi_1(M) - \phi_2(M) = k (\underbrace{(S_1M) - (S_2M)}_{\delta(M)}) + \underbrace{\phi_1 - \phi_2}_{\Delta\phi}\textrm{.}$

C’est ce terme qui donne lieu aux interférences. Jusque-là, les connaissances du lycée sont bien valides, mais rappelons que, dans l’expérience d’introduction, nous n’observions pas toujours les interférences.

Dans la suite, nous n’étudierons que des sources de mêmes pulsations.

Retour sur l’expérience

Ajouter des polariseurs.

Concernant notre expérience, on pourrait penser que nos sources n’avaient pas la même polarisation mais, l’ajout de polariseurs ne change pas le résultat. Il y a donc quelque chose d’autre…

Cohérence temporelle

Regardons à nouveau le terme d’interférences :

$I(M) = I_1 + I_2 + \sqrt{I_1 I_2} \avg{\cos(k \delta(M) + \Delta\phi)}\textrm{,}$

quand nous n’observons pas d’interférences, c’est que ce terme est nul. En un point de l’écran, $k \delta(M)$ est constant ; mais que peut-on dire de $\Delta\phi$ ? Il s’agit du déphasage entre les ondes au moment de leur émission par leur source.

L’émission de lumière est un processus discret et aléatoire :

dans le modèle corpusculaire, la désexcitation d’un atome entraîne l’émission d’un photon,
dans le modèle ondulatoire, la désexcitation d’un atome entraîne l’émission d’un : il s’agit d’un signal sinusoïdal de fréquence $\omega$ , mais restreint dans le temps.

Dans le cas de plusieurs sources primaires

Dans le cas de plusieurs sources primaires, le déphasage entre deux sources indépendantes est aléatoire à chaque instant, on parle de sources non cohérentes. L’argument du cosinus dans le terme d’interférences prend donc des valeurs aléatoires à chaque instant : la valeur moyenne du cosinus est donc nulle.

Cela explique notre expérience. Dans le cas des deux sources indépendantes, on ne peut pas observer d’interférences. Alors que dans le cas des fentes de Young, l’onde qui arrive à chaque moment sur les deux fentes est issue du même train d’onde d’émission, les ondes émises par ces sources secondaires sont donc cohérentes.

Dans le cas d’une seule source primaire

Considérons deux trains d’ondes qui arrivent en à un instant donné, suivant deux chemins optiques différents.

Si l’extension spatiale de ces trains d’ondes est supérieure à la différence de marche, alors ces trains d’ondes ont été émis au même moment par la source avec la même phase $\phi_1 = \phi_2 \implies \Delta\phi = 0$ . On observe donc des interférences.
Au contraire, si l’extension spatiale de ces trains d’ondes est inférieure à la différence de marche, alors c’est que ces trains d’ondes ont été émis à des instants différents par la source : ils ont alors chacun une phase $\phi_i$ aléatoire. Pour ces deux trains d’ondes particuliers le déphasage $\delta\Phi$ prend une valeur bien spécifique (mais aléatoire), qui donne lieu à des interférences. En conséquence, pour l’ensemble des paires de trains d’ondes reçues pendant la période d’intégration du capteur, le très grand nombre de $\Delta\phi$ aléatoires va donner lieu à un brouillage des interférences.

Faire une animation des trains d’ondes.

La discussion sur le cas de plusieurs sources primaires à elle sa place ici ?

Les interférences lumineuses ne sont donc pas exactement faciles à obtenir. Pour les faire apparaître et les exploiter, nous avons besoin de solutions techniques particulières que l’on appelle interféromètres. Nous allons étudier un peu plus en détails les fentes de Young et la figure d’interférences qu’elles permettent d’obtenir.

Un interféromètre : les fentes de Young

Il s’agit donc d’une solution technique qui permet d’aisément faire apparaître une figure d’interférences. Le système nous place dans des conditions « idéales » où :

$\begin{align*} I(M) &= I_1 + I_2 + \sqrt{I_1 I_2} \avg{\cos(k\delta(M) + \Delta\phi)} \\ &= 2 I_0 + 2 I_0 \cos(k\delta(M)) \\ &= 2 I_0 (1 + \cos(k\delta(M))) \end{align*}$

les sources secondaires sont cohérentes et ont la même intensité.

Figure d’interférence

Allure

La valeur de $\delta(M)$ se trouve facilement sur le schéma suivant :

Faire le schéma.

La trigonométrie donne :

$\delta(M) \approx \frac{a x(M)}{D}\textrm{.}$

Tracer l’allure.

Interfrange

On appelle interfrange l’espace qui sépare deux maximas (ou minimas) d’intensité lumineuse. Les maximas sont obtenus pour les différences de marche particulières $\delta_p$ :

$k \delta_p = \frac{2\pi}{\lambda} \frac{ax_p}{D} = 2 p \pi, p \in \mathbb{N} \implies x_p = p \frac{\lambda D}{a}\textrm{.}$

La différence $x_{p+1} - x_p$ donne l’interfrange $i = \frac{\lambda D}{a}$ .

Contraste

Le contraste (ou la visibilité) est une grandeur sans dimension qui donne une indication sur la différence d’intensité lumineuse ente les maximas et les minimas. On définit :

$C = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}\textrm{.}$

Pour les fentes de Young le contraste vaut $\num{1}$ . En retournant momentanément au cas le plus général de deux sources monochromatique indépendantes, le contraste s’exprime :

$C = 2 \frac{\vb{E_{01}E_{02}}}{I_1 + I_2}$

\pyimgen{fentes_de_young_contraste}

Une nouvelle mise en défaut : cohérence spatiale

Faire le calcul pour une fente réelle qui éclaire les fentes de Young. Parler de brouillage.

Dans cette leçon, nous avons complété les connaissances aquises au lycée concernant les conditions d’obtentions de figures d’interférences.

La dernière section mettait en évidence le problème de cohérence spatiale associé aux sources étendues. L’utilisation des fentes de Young restreint l’expérimentateur à des sources fines et par conséquent peu lumineuses, il résulte bien sûr que la figure d’interférence, même si elle présente un bon contrase, sera peu brillante.

Dans la prochaine leçon nous étudierons de manière plus formelle la cohérence spatiale pour chercher à réaliser un interféromètre qui permet l’utilisation de sources étendues.