LP34 : Interférométrie à division d’amplitude
Dans la leçon précédente, nous avons étudié les conditions d’obtention d’interférences. En particulier, nous avons vu que les problèmes de cohérence spatiale posaient problème vis-à-vis de la luminosité des franges, dans les expériences de division du front d’onde (fentes de Young entre autres).
Dans cette leçon, nous présenterons une solution alternative à la division du front d’onde dite division d’amplitude : l’idée est de faire interférer chaque rayon avec lui-même.
Il sera nécessaire d’avoir en tête des dispositifs à division du front d’onde et à division d’amplitude moins scolaires que les fentes de Young ou l’interféromètre de Michelson et le Fabry-Perrot.
Théorème de non-brouillage (théorème de localisation)
Le théorème de localisation va permettre de mathématiquement prévoir les zones de l’espace où la figure d’interférences ne sera pas brouillée, pour une source d’extension donnée.
Système optique général [1]
On considère un système optique tout à fait général. Une source
étendue est utilisée pour l’éclairer, de cette source on isole deux
points et
.
On observe les interférences au point
de
l’autre côté du système.
Pour les rayons issus de
(resp
), la
différence de marche au point
est
(resp
) :
L’absence de brouillage au point
se
traduit par :
.
Calculons :
Nous allons nous contenter d’une égalité au premier ordre, en
acceptant une légère différence : cela revient à dire qu’un léger
brouillage est toléré. On calcule alors
et par
similarité, nous déterminerons
:
correspond à la différence de marche dans la partie droite du schéma,
après l’arrivée dans l’interféromètre. En outre, on remarque que :
par
construction, et que :
par
définition, d’où :
on doit exprimer :
alors, en reprenant l’expression pour
, on
peut exprimer
comme
:
Les deux derniers termes, correspondent à deux chemins optiques de
rayons lumineux partant d’un point
et
arrivant au point
. Par
le principe de Fermat on déduit l’égalité de ces termes.
La substitution
n’est
valable que dans le cadre du développement limité : les quatre vecteurs
(primés et non primés) doivent être parallèles deux à deux, mas les
rayons doivent passer par le point
.
Finalement,
d’où :
Nous disions que, pour qu’il n’y ait pas brouillage, il fallait
ce
qui, d’après notre calcul revient à :
Nous avons deux options, selon la direction des rayons incidents :
, dans ce cas,
: pour qu’il n’y ait pas de brouillage, la source doit être étendue uniquement dans un plan perpendiculaire au plan de propagation des rayons se dirigeant vers le système optique.
, dans ce cas,
: l’absence de brouillage n’impose aucune contrainte sur la source, mais impose que l’interféromètre ne fasse se rejoindre en
que des rayons émergents issus de rayons incidents parallèles entre eux : il ne peut pas s’agir d’un interféromètre à division du front d’onde.
Deux mots sur les fentes de Young
Pour une source étendue dans l’axe perpendiculaire au schéma
( ou
), en
n’importe quel point de l’espace, les rayons arrivants sont issus de
rayons incidents qui vérifient
. Il
n’y a du brouillage nulle part : les interférences ne sont pas
localisées (dans le cadre de la validité du développement limité).
Pour une source étendue dans le plan du schéma
(), on
ne vérifie pas les conditions de non-brouillage puisque
.
Interférences par division d’amplitude
L’autre condition que l’on peut vérifier
()
correspond à ce qui était annoncé dans l’introduction, c’est-à-dire
l’interférence d’un rayon « avec lui-même », comme illustré sur ce
schéma :
Le système optique, que l’on appelle lame d’air, est
constitué de deux miroirs semi-réfléchissants. On constate que les
rayons incidents parallèles au vecteur directeur
sont
tous renvoyés dans la même direction, et cela, peu importe leur point
source. Ce sont aussi les seuls à repartir dans cette direction : ils
interfèrent à l’infini et sans brouillage, sans condition sur
l’extension spatiale de la source. On pourra les faire interférer sur un
écran par projection avec une lentille convergente.
Ce type de système est dit à division d’amplitude, car chaque rayon est divisé avant d’être conduit à interférer avec lui-même.
On rappelle que l’extension spatiale de la source permet l’obtention de figures d’interférences plus lumineuses. En contre-partie, nous sommes soumis à la localisation des interférences : elles ne sont observables que dans des régions finies de l’espace.
Le système optique présenté ici, et appelé lame d’air peut être généralisé et constitué de deux interfaces séparant trois milieux de propagation de la lumière (plutôt que trois zones d’air). On parlera dans le cas général de lame mince : les interférences sur lames minces sont celles qui donnent leur couleur aux ailes de papillons, et aux taches d’huile ou de savon.
Le système optique présenté ici, n’a pas été complètement étudié, en effet les miroirs semi-réfléchissants donnent lieux à des réflexions multiples qui risquent de compliquer l’étude. On pourrait aussi essayer d’observer des interférences dans une situation où les deux miroirs ne sont pas parallèles. Nous allons étudier ceci, dans le cas plus simple d’interférences à deux ondes, grâce à un système analogue à celui-là, mais qui évite les réflexions multiples.
Interférences à deux ondes avec l’interféromètre de Michelson
L’interféromètre de Michelson est une solution technique similaire à celle déjà présentée qui permet d’aisément faire apparaître une figure d’interférences à deux ondes issue d’une division d’amplitude des rayons incidents.
Constitution
Pour les schémas et les calculs :
On se place à .
Construire les miroirs équivalents : tous les rayons incidents (peu importe l’angle d’incidence) produisent deux rayons émergents parallèles donc la figure d’interférence est localisée à l’infini.
Configuration en lame d’air
Rédiger cette section.
Figure d’interférences
Différence de marche
La différence de marche
qui
existe entre deux rayons qui se rencontrent sur l’écran, car ils étaient
parallèles en sortie de l’interféromètre (cela, car ils sont issus du
même rayon incident lui-même incident avec un angle
), est
:
Et par trigonométrie, on détermine les relations :
donc finalement :
La figure d’interférences va être à géométrie circulaire : on aura des anneaux brillants et des anneaux sombres. Comme la différence de marche ne dépend pas de la position de la source, mais seulement de l’angle d’incidence des rayons incident, les interférences ne sont pas brouillées même pour une source étendue : c’est bien ce que l’on cherchait à obtenir.
Interférences au centre
Les interférences formées au centre de l’écran
() sont
constructives ou destructives si :
Mais dans le cas général pour une épaisseur
quelconque, les interférence formées au centre de l’écran sont
quelconques et on note :
Anneaux
Le premier anneau lumineux se forme à un angle
pour
lequel la différence de marche est :
. Comme
la différence de marche associée à l’angle
est
inférieure à la différence de marche associée au centre de l’écran,
l’ordre d’interférences va y être le premier entier inférieur à
,
c’est-à-dire :
. Donc
:
En continuant ce raisonnement on trouve que le
-ième
anneau lumineux se forme à l’angle
tel
que :
On peut aussi calculer le rayon des anneaux lumineux formés sur
l’écran à travers la lentille mince convergente
de
distance focale
:
La relation permet
d’exprimer l’angle :
d’où :
On peut tracer une droite
et une
autre droite
à
épaisseur différente
. Cela
permettra par un calcul habile de déterminer
ou
.
On aura et la
même relation pour
, d’où
:
et par ailleurs :
Donc :
puis :
d’où l’utilisation possible des anneaux en spectroscopie ou pour mesurer des variations de longueurs.
Une autre utilisation possible pour déterminer cette fois l’écart entre deux raies de longueurs d’ondes très proches est d’exploiter le brouillage qui apparaît lors d’anticoïncidendes.