LP35 : Diffraction de Fraunhofer

Illustration de la diffraction de la lumière par la Lune lors d’occultations, on y voit que l’intensité lumineuse mesurée au sol augmente et diminue avant de s’éteindre, comme le prévoit la théorie : https://www.youtube.com/watch?v=WDFmRlZyAf8

Mettre en place la manip rigoureuse de diffraction par une fente.

La diffraction est un phénomène déjà connu par les étudiants de ce niveau, mais seulement sur le plan expérimental. Il s’agit d’un phénomène qui se manifeste pour tous les types d’ondes lorsqu’elles rencontrent un obstacle son observation nécessite toutefois que la longueur d’onde de l’onde ait une taille porche de la taille de l’objet.

Dans cette leçon, nous cherchons à modéliser la propagation de la lumière pour rendre compte des observations.

Le modèle ondulatoire de la lumière

Grandeurs utiles

On décrit la lumière principalement avec deux grandeurs : l’amplitude complexe du champ électrique $\z{E}(M, t)$ et l’intensité lumineuse $I(M) = \avg{E(M, t)}^2$ mesurée par les capteurs.

La propagation de la lumière est modélisée par la propagation de comme une onde de sorte que : si l’on considère une source ponctuelle monochromatique d’amplitude $\z{E_0}$ en , et si l’on note $\z{E}(P)$ l’amplitude au point à , alors, au point hors de la source :

$\z{E}(P) = \z{E_0} \frac{e^{i \vb{k} \vb{r}}}{r}\textrm{,}$

où $\vb{r} = \va{MP}$ et $\vb{k}$ est le vecteur d’onde (sphérique) ; l’exponentielle complexe tient compte du déphasage lié à la propagation de à .

Si un point est éclairé par plusieurs sources ponctuelles de même longueur d’onde l’amplitude $\z{E}(P)$ en s’écrit :

$\z{E}(P) = \sum_{i \in \textrm{sources}} \z{E_i} \frac{e^{i\vb{k}\vb{r_i}}}{r_i}\textrm{,}$

Principe d’Huygens-Fresnel (1678 -- 1818) [1]

Énonce

La lumière se propage de proche en proche. Dans l’espace, chaque élément de surface éclairé se comporte comme une source secondaire qui émet des ondelettes sphériques dont l’amplitude est proportionnelle à la surface et à l’amplitude de l’onde reçue.

De plus, la phase de l’onde émise est prise égale à la phase de l’onde reçue.

Attention, normalement il faudrait prendre un déphasage de $\tfrac{\pi}{2}$ , mais il n’aura pas d’importance dans ce que nous faisons, car finalement on s’intéresse à l’amplitude.

Mathématiquement

$\begin{figure}[H] \centering \tdplotsetmaincoords{20}{0} \tdplotsetrotatedcoords{0}{110}{0} \begin{tikzpicture}[tdplot_rotated_coords] \draw[dotted] (-2,0,0) -- (2,0,0); \draw[dotted] (0,0,0) -- (0,2,0); \draw[dotted] (0,0,-1) -- (0,0,11); \draw[thick,->] (2,0,0) -- (2.5,0,0) node[anchor=north east]{$x$}; \draw[thick,->] (0,2,0) -- (0,2.5,0) node[anchor=south]{$y$}; \draw[thick,->] (0,0,11) -- (0,0,11.5) node[anchor=west]{$z$}; \coordinate (O) at (0,0,0); \coordinate (M) at (1,1,0); \coordinate (Mx) at (0,1,0); \coordinate (My) at (1,0,0); \coordinate (P) at (2,2,10); \coordinate (Px) at (0,2,10); \coordinate (Py) at (2,0,10); \coordinate (Pxy) at (0,0,10); % Dessiner les points \draw (O) node[anchor=north]{$O$}; \draw (M) node[anchor=south east]{$M$}; \draw[dotted] (Mx) -- (M); \draw[dotted] (My) -- (M); \draw (P) node[anchor=north west]{$P$}; \draw[dotted] (Px) -- node{$X$} (P); \draw[dotted] (Py) -- node{$Y$} (P); \draw[dotted] (Px) -- (Pxy); \draw[dotted] (Py) -- (Pxy); % Dessiner les vecteurs \draw[dashed,->] (O) -- node[anchor=north east]{$\rho$} (M); \draw[->] (M) -- node[above]{$\vb{r}$} (P); \draw[dashed] (O) -- node[below]{$\vb{R} \parallel \vu{d}$} (P); \draw (O) circle (2); \end{tikzpicture} \end{figure}$

Si l’on considère un diaphragme éclairé par une source pontuelle alors, l’amplitude $\z{E}(P)$ en un point de l’autre côté du diaphragme est :

$\z{E}(P) \propto \iint_{M \in D} \z{E}(M) \frac{e^{i \vb{k}\vb{r}}}{r} \dd S\textrm{,}$

Nous n’avons ici semble-t-il rien gagné puisque nous devons maintenant déterminer les amplitudes $\z{E}(M)$ . Mais dans certaines conditions expérimentales nous pourrons en fait dire que $\z{E}(M) = \z{E_0} \frac{e^{i\vb{k}\vb{r}}}{r} \approx \z{E_M}$ (diaphragme éclairé uniformément par une lumière cohérente, donc une source à l’infini).

L’écriture se généralise simplement dans les situations où plutôt qu’un diaphragme nous avons un objet de transmittance variable t(M) :

$\z{E}(P) \propto \iint t(M) \frac{e^{i \vb{k}\vb{r}}}{r}\dd S\textrm{,}$

En principe, on doit choisir une surface fermée qui englobe la source pour appliquer le principe. Mais avec un diaphragme, l’intégrale se résumerait à l’ouverture.

Vers les conditions de Fraunhofer

Le calcul de l’intégrale est compliqué dans le cas général. L’approximation de Fraunhofer consiste à se placer dans des conditions expérimentales particulières qui simplifient l’expression. Nous allons les rechercher pas à pas.

Le dénominateur

Au dénominateur, nous avons , la distance entre le point d’intégration et le point d’observation. L’expression de $\z{E}$ serait bien simplifiée si était constant ou du moins, si l’on pouvait négliger ses variations dans le domaine d’intégration. Expérimentalement, à quoi est-ce-que cela correspond ? La distance varie peu si la distance est très grande devant la taille de l’objet, en termes mathématiques :

$r = \sqrt{R^2 + \rho^2 - 2\vb{\rho}\vb{R}} = R \sqrt{1 + \qty(\frac{\rho}{R})^2 - 2 \qty(\frac{\vb{\rho} \dotproduct \vu{d}}{R})} \approx R \qq{si} \frac{\rho}{R} \ll 1\textrm{.}$

Plaçons-nous dans ces conditions, et ré-éxprimons l’amplitude lumineuse en :

$\z{E}(P) \propto \iint t(M) \frac{e^{i \vb{k} \vb{r}}}{R} \dd S \propto \iint t(M) e^{i \vb{k} \vb{r}} \dd S\textrm{.}$

Le terme de phase

Le terme de phase $e^{i\vb{k}\vb{r}}$ va pouvoir s’exprimer $e^{i\frac{2\pi}{\lambda}\vu{d}\vb{r}}$ puis $e^{i\frac{2\pi}{\lambda}r}$ dans la condition $\frac{\rho}{R} \ll 1$ puisque $\vb{R}$ et $\vb{r}$ sont alors presque parallèles.

La phase dépend du rapport $\frac{r}{\lambda}$ . Si l’on décide de faire un développement limité de comme précédemment, nous devrons faire attention à l’importance du rapport $\frac{1}{\lambda}\frac{\textrm{terme}}{R}$ qui diffère de l’importance du rapport $\frac{\textrm{terme}}{R}$ . Calculons :

$\begin{gather*} r = R \sqrt{1 + \qty(\frac{\rho}{R})^2 - 2 \qty(\frac{\vb{\rho} \dotproduct \vu{d}}{R})} \approx R \qty[1 + \frac{1}{2} \qty(\frac{\rho}{R})^2 - \qty(\frac{\vb{\rho} \dotproduct \vu{d}}{R})] \\ \implies \vb{k}\vb{r} = \frac{2\pi}{\lambda} r \approx \lambda R + \frac{\rho^2}{2\lambda R} - \frac{\vb{\rho}\dotproduct\vu{d}}{\lambda} \end{gather*}$

Dans l’approximation de Fraunhofer, on cherche à négliger le terme en $\rho^2$ ce qui nécessite la condition : $\flatfrac{\rho^2}{\lambda R} \ll 1$ . Dans ce cas, $\z{E}(P)$ devient :

$\z{E}(P) \propto \iint t(M) e^{i k R} e^{- i k \vb{\rho}\vu{d}} \dd S \propto \iint t(M) e^{- i k \vb{\rho}\vu{d}} \dd S\textrm{.}$

Résultat

Enfin, on peut développer le produit scalaire $\vb{\rho}\vu{d}$ que nous traînons pour exprimer l’amplitude en fonctions des coordonnées M(x, y) et P(X, Y) :

$\z{E}(X, Y) \propto \iint t(x, y) e^{-i \frac{2\pi}{\lambda R} (xX+yY)} \dd x \dd y\textrm{,}$

et l’on reconnaît ici la transformée de Fourier de t(x, y) par rapport à ses deux variables. Sur l’écran placé de sorte que $\flatfrac{\rho^2}{\lambda R} \ll 1$ et $\flatfrac{\rho}{R} \ll 1$ , on pourra observer une image qui se trouve être la transformée de Fourier de l’image géométrique de l’objet diffractant.

Ordres de grandeurs

Montrer qu’il faut les deux conditions et que l’une n’implique pas l’autre.

Exemples de figures de diffraction

Toutes les solutions ne sont pas analytiques, montrer le résultat pour la fente puis une simulation pour quelque chose de plus amusant.

Optique de Fourier

Avec les transformées de Fourier