LP36 : Diffraction par des structures périodiques

Ne pas passer trop de temps sur les choses simples.

Réseau optique

Notions

En optique, on appelle réseau une structure périodique dont le motif interagit avec la lumière. Concrètement, il peut s’agir :

d’un réseau d’amplitude dont le motif a une transparence variable (fentes, miroirs)
d’un réseau de phase dont le motif a un indice optique variable (verre d’épaisseur variable)

Dans cette leçon, on s’intéresse au cas des fentes, éclairées avec une onde plane. On note $\epsilon$ la largeur d’une fente et le pas du réseau. On s’intéresse aux situations où la diffraction de l’onde par les fentes n’est pas négligeable.

Montrer la diffraction en lumière blanche par un réseau choisit pour bien montrer que l’on ne pourra pas faire l’approximation des petits angles.

Figure de diffraction

$\begin{figure}[H] \centering \begin{tikzpicture} \coordinate (O) at (0,0); \coordinate (Y) at (0,1.3); \draw[dashed] (0,-2) -- (0,2); \foreach \x in {-2,0,2,4,6} { \draw[line width=3] (\x-1.7,0) -- (\x-.3,0); \draw (\x-.3,0) -- (\x+.3,0); } \draw (0,0) -- ++(130:2cm); \draw (0,0) -- ++(-30:2cm); \draw[red] ([shift=(90:1cm)]0,0) arc (90:130:1cm) node[midway,fill=white] {$i$}; \draw[red] ([shift=(-90:1cm)]0,0) arc (-90:-30:1cm) node[midway,fill=white] {$\theta$}; \draw (2,0) -- ++(130:2cm); \draw (2,0) -- ++(-30:2cm); \end{tikzpicture} \end{figure}$

Diffraction par une fente

L’amplitude de l’onde transmise par une fente considérée et dans la direction $\theta$ va s’écrire :

$f(\theta) \propto \int_0^\epsilon s_i e^{jk\delta(x)} \dd x\textrm{,}$

avec $\delta(x)$ la différence de marche entre les rayons qui traversent la fente qui s’écrit :

$\delta(x) = \epsilon(\sin i - \sin \theta)\textrm{,}$

donc :

$f(\sin\theta) \propto \int_0^\epsilon s_i e^{jkx(\sin i+\sin \theta)} \dd x \propto \sin_c\qty[\epsilon k (\sin i - \sin \theta)]\textrm{,}$

Diffraction par l’ensemble des fentes

L’amplitude de l’onde transmise par le réseau dans la direction $\theta$ va s’écrire :

$s(\sin\theta) = \sum_{\textrm{fentes}} f(\sin\theta) e^{jk\delta_n}\textrm{,}$

avec $\delta_n$ la différence de marche entre les rayons qui traversent le réseau par chaque fente qui s’écrit :

$\delta_n = na(\sin i - \sin \theta) = n \delta_1\textrm{,}$

donc :

$s(\sin\theta) = \sum_{n \in N} f(\theta) e^{jkn\delta_1} = f(\sin\theta)\sum_{n \in N} (e^{jk\delta_1})^n = f(\sin\theta)\frac {\sin(N\frac{k}{2}\delta_1)} {\sin(\frac{k}{2}\delta_1)}\textrm{.}$

Finalement, l’intensité de la figure de diffraction angulaire formée par le réseau éclairé avec une onde plane (et $\sin i = 0$ pour alléger les écritures) est donnée par :

$\begin{align*} I(\sin\theta) &= s^2(\sin\theta) \\ &= I_0 \sin_c^2(\epsilon k \sin\theta) \frac {\sin[2](N\frac{ka}{2}\sin\theta)} {\sin[2](\frac{ka}{2}\sin\theta)} \end{align*}$

on pose $\alpha = \frac{a}{2} k \sin\theta$ et $\beta = \flatfrac{\epsilon}{a}$ :

$I(\alpha) = I_0 \sin_c^2(\beta\alpha) \qty(\frac{\sin(N\alpha)}{\sin\alpha})^2\textrm{.}$

\pyimgen{diffraction_reseau}

\software{./python/diffraction\_reseau.imgen.py}

L’enveloppe en $\sin_c$ varie lentement pourvus que $\beta$ soit faible. Sur l’autre facteur, on distingue les maximas principaux des maximas secondaires.

Les maximas principaux sont situés aux angles tels que $\sin(\alpha) = 0$ donc aux angles :

$\frac{k a \sin\theta}{2} = p \pi \implies \sin\theta_p = \frac{2 p \pi}{k a} = \frac{p\lambda}{a}\textrm{,}$

on appelle l’ordre d’interférence. Pour rappel, les maximas de la figure de diffraction sont placés tous les $\flatfrac{\lambda}{2\epsilon}$ ; et on peut s’intéresser à la position des maximas secondaires qui sont situés tous les $\flatfrac{\lambda}{Na}$ .

Pouvoir de résolution

Les réseaux sont beaucoup utilisés en spectroscopie puisqu’ils peuvent, comme des prismes, séparer des longueurs d’ondes : $I(\alpha)$ dépend de donc de $\lambda$ .

Pour ces applications il est intéressant de former des raies les plus fines possibles de manière à pouvoir en mesurer la position précisément ou même dans certains cas, en distinguer deux voisines. On veut donc minimiser la largeur angulaire $\delta\theta$ des maximas principaux. Or concernant le pic central où $\alpha \approx 0$ :

$I(\alpha) \propto \frac{\sin[2](N\alpha)}{\sin[2](\alpha)} \propto \frac{\sin[2](N\alpha)}{\alpha} \propto \sin_c^2(N\alpha)\textrm{,}$

la largeur à mi-hauteur du sinus cardinal est $\delta\sin\theta \approx \delta\theta = \frac{\lambda}{Na}$ . Les raies sont donc d’autant plus fines que le nombre de traits éclairés est grand. On appelle finesse du montage (réseau + source) le rapport entre l’écart entre deux pics consécutifs et leur largeur à mi-hauteur :

$F = \frac{\Delta\theta}{\delta\theta} = N\textrm{.}$

Deux longueurs d’ondes consécutives séparées de $\delta\lambda$ seront discernables dans le spectre selon le critère de Rayleigh si $\Delta\theta > \delta\theta$ avec $\Delta\theta = \frac{p\Delta\lambda}{a}$ donc $\frac{p\Delta\lambda}{a} > \frac{\lambda}{Na}$ donc si $pN > \frac{\lambda}{\delta\lambda}$ . On appelle le produit P = pN pouvoir de résolution du montage et en pratique on veut que $\delta\lambda > \frac{\lambda}{pN}$ . On doit donc éclairer le plus de fentes possible ce qui peut se faire en élargissant la source ou en augmentant le nombre de traits par unité de longueur.