LP40 : Confinement d’une particule et quantification de l’énergie

Niveau : L2

Prérequis :

Mécanique classique
Notion de fonction d’onde
Équation de Schrödinger

Approche historique

Les spectres discrets de raies [1]

Les premières raies spectrales sont observées avec des prismes par Thomas Melvill (1752, Sodium, émission), William Wollaston (1802, Soleil, absorption), Joseph Fraunhofer (1814, Sodium dans le Soleil, absorption), et Angström (hydrogène).

En 1885, Balmer puis en 1889, Rydberg donnent une structure mathématique régulière en longueur d’ondes aux raies visibles de l’hydrogène :

$\frac{1}{\lambda_n} = \glssymbol{Ry} \qty(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2})\textrm{,}$

(avec la constante alors expérimentale $\glsfull{Ry}$ ). Ils utilisent cette formule pour prédire avec succès la longueur d’onde d’autres raies de l’hydrogène situées dans l’ultraviolet.

Ajouter un spectre annoté de l’hydrogène.

Suite aux travaux de Planck sur le corps noir (1900), la présence de ces raies pose un problème à résoudre. Mais l’effet photoélectrique d’Einstein (et Planck) en explique une partie.

Modèle de Bohr de l’atome

Parler du problème du non-rayonnement des atomes, de leur stabilité, et de la désionisation qui donne toujours les mêmes atomes.

Il s’agit d’un traitement classique de l’atome, dans lequel on introduit une hypothèse de quantification.

On considère l’atome d’hydrogène comme un noyau de masse m_p autour duquel circule un électron de masse $m \ll m_p$ . On se place dans les hypothèses du problème à deux corps type mouvement de Kepler, avec une force d’interaction électrostatique :

$m \vb{a} = \frac{- q^2}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \vu{r} = \frac{e^2}{r^2} \vu{r} \qq{avec} e^2 \defeq \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0}\textrm{.}$

Dans le cadre d’une trajectoire circulaire, on écrira :

$m r \dt{\theta}^2 = \frac{e^2}{r^2} \qq{et} \norm{\vb{L}} = m r^2 \dt{\theta}\textrm{.}$

Pour résoudre les problèmes énoncés, Niels Bohr introduit en 1913 un postulat selon lequel il existe des orbites circulaires stables pour les électrons : une fois sur l’une de ces orbites, l’électron de rayonne aucune énergie électromagnétique. Il ajoute que l’électron peut passer d’une orbite stable à une autre par absorption ou émission d’un photon dont l’énergie correspond à l’écart en énergie de l’électron entre les deux orbites.

Schéma

La règle de quantification que donne Bohr pour identifier les orbites stables parmi les autres s’écrit :

$\norm{\vb{L}} = n \hbar\textrm{.}$

En conséquences, les expressions de $\vb{a}$ et $\vb{L}$ permettent d’écrire :

$\frac{n^2 \hbar^2}{m r^3} = \frac{e^2}{r^2} \implies r = \frac{n^2 \hbar^2}{m e^2} \defeq a_0 n^2\textrm{,}$

avec a_0 le rayon de Bohr.

L’énergie potentielle (d’origine électrostatique) de l’électron sur l’une de ces orbites s’écrit :

$E_p = - \frac{e^2}{r_n}\textrm{,}$

le principe fondamental de la dynamique :

$\begin{align*} m \vb{a} &= - \pdv{E_p}{r_n} \vu{r} = - \frac{e^2}{r_n^2} \vu{r} \\ &= - m \frac{v^2}{r_n} \vu{r} \end{align*}$

donne l’énergie cinétique :

$E_c = \frac{m v^2}{2} = \frac{e^2}{2 r_n}\textrm{,}$

d’où l’énergie mécanique du système :

$E_n = \frac{-1}{2} \frac{e^2}{r_n} = \frac{-1}{2} \frac{e^2}{a_0 n^2}\textrm{.}$

L’hypothèse de Bohr sur la position des électrons implique une quantification de leur énergie. Comme le suggère le titre de la leçon, il existe un lien fort entre confinement (ici sur une orbite) et quantification de l’énergie.

On retrouve l’expression expérimentale de R_y pour la longueur d’onde d’une raie de l’hydrogène correspondant à une transition de l’électron d’une orbite vers , avec $\Delta E = \frac{h c}{\lambda}$ :

$\Delta E = E_j - E_i = \frac{-e^2}{2} \qty(\frac{1}{r_j} - \frac{1}{r_i})\textrm{,}$

en réintroduisant toutes les grandeurs :

$\frac{1}{\lambda} = \frac{-m q^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c}\qty(\frac{1}{j^2} - \frac{1}{i^2}) \defeq \glssymbol{Ry} \qty(\frac{1}{j^2} - \frac{1}{i^2})\textrm{,}$

où l’on donne une expression pour $\glssymbol{Ry}$ . On remarquera que le calcul permet de déterminer l’énergie d’ionisation de l’hydrogène en considérant une transition de l’état i = 1 vers $j = \infty$ : $E_{ion} = h c \glssymbol{Ry} = \SI{13.6}{\eV}$ .

Confinement d’une particule

Puits de potentiel infini [1]

Équation de Schrödinger indépendante du temps [1]

Donner l’équation de Schrödinger, présenter la séparation des variables, la solution sur $\xi(t)$ puis l’équation sur $\phi(x)$ .

Résolution

Présentation, résolution. Passer vite sur les cas sans intérêt. Spectre et fonctions d’onde [1]. Même solutions que la corde vibrante. État de plus basse énergie non nulle : Heisenberg.

Ajouter une animation qui trace les $\Psi_n(x, t)$ et $\abs{\Psi_n(x, t)}^2$ .

Applications numériques

Le puits étudié ici est très théorique, mais certains problèmes réels s’en approchent :

nucléons dans le noyau,
électrons dans des jonctions de semi-conducteurs,
particule $\alpha$ dans un noyau de $\ce{U}$ .

Retour sur l’atome d’hydrogène

Rapidement, donner le potentiel (non nul, mais indépendant du temps), dire que l’on peut séparer les variables temporelles et spatiales puis radiales et angulaires, dire que les calculs sont très longs pour $Y(\theta, \phi)$ , et donner l’équation pour R(r) .

On en déduit les énergies, qui grandissent en $\flatfrac{1}{n^2}$ et se resserrent.

L’existence d’une énergie minimale non nulle donne un rayon minimal non nul qui assure la stabilité de la matière et des solutions aux autres problèmes que Bohr cherchait à résoudre.

Préparer des graphes des solutions radiales et de la densité de probabilité pour l=0 .

On fera remarquer que la solution diverge en r = 0 , mais ça ne pose pas de problème quant à la densité de probabilité, car en coordonnées sphériques, elle s’écrit :

$\rho(r, \theta, \phi) = \abs{\Psi(r, \theta, \phi)}^2 r^2 \dd r \sin \theta \dd \theta \dd \phi\textrm{,}$

et : $r^2 e^{-\frac{2r}{a_0}}$ ne diverge pas.

Dans cette leçon, nous avons étudié en détails le problème dit de la particule dans une boîte. Il s’agit bien d’une particule confinée et l’on trouve que son énergie est quantifiée. Nous avons vu comment le procédé de ce calcul peut être appliqué pour résoudre le problème de l’atome d’hydrogène.

Dans la suite du cours, on pourra illustrer la résolution de l’équation de Schrödinger sur le problème du potentiel harmonique, qui modélise de manière approchée les potentiels continus autour des positions d’équilibres.