LP41 : Effet tunnel

Niveau : L3

Prérequis :

Notion de fonction d’onde
Équation de Schrödinger
États liés et quantification
Densité d’états en physique statistique

Dans cette leçon qui fait suite à celle sur la quantification (dans laquelle nous avons décrit une particule confinée dans un potentiel), nous étudions le cas d’une particule qui va pouvoir évoluer semble-t-il sur un demi-espace.

$\begin{figure}[H] \centering \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ height = 5 cm, width = 8cm, axis lines = left, ylabel = {$V(x)$}, xtick={-1}, ytick={0}, ] \addplot[ domain=0:4, samples=100, ] {x*sin(deg(x))}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{figure}$

Barrière de potentiel rectangulaire [1]

Description

Comme pour l’étude des potentiels confinants, nous commencons par un cas qui semble simple.

$\begin{figure}[H] \centering \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ height = 5 cm, width = 8cm, axis lines = left, ylabel = {$V(x)$}, xmin=-1, xmax=2, ymin=-1, ymax=6, xtick={-2}, ytick={-2}, extra x ticks={0,1}, extra x tick labels={$0$, $a$}, extra y ticks={0,5}, extra y tick labels={$0$, $V_0$}, ] \addplot[mark=+] coordinates { (-1, 0) (0, 0) (0, 5) (1, 5) (1, 0) (2, 0) }; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{figure}$

Une particule de masse arrive de la gauche ( x < 0 , croissant), avec une énergie comprise entre et V_0 . La mécanique classique prévoit une réflexion de la particule sur la barrière.

Équation de Schrödinger

De l’équation de Schrödinger à une dimension pour un potentiel indépendant du temps :

$i \hbar \pdv{t} \Psi(t, x) = \qty(- \frac{\hbar^2}{2 m} \laplacian + V(x) )\Psi(t, x)\textrm{,}$

nous rappelons une classe de solutions issue de la séparation des variables :

$\Psi(t, x) = f(t) \cdot \psi(x)\textrm{,}$

les deux fonctions vérifiant alors :

$\begin{gather*} f(t) = e^{-i \frac{E}{\hbar}t} \qq{et} \qty(- \frac{\hbar^2}{2m} \dv[2]{x} + V(x)) \psi(x) = E \psi(x) \end{gather*}$

Solutions des équations stationnaires

Dans les régions 1 () et 2 ()

Dans les régions 1 ( x < 0 ) et 2 ( x > a ) où V(x) = 0 on écrit :

$- \frac{\hbar^2}{2m} \dv[2]{\psi(x)}{x} = E \psi(x) \implies \dv[2]{\psi(x)}{x} = -k^2 \psi(x) \qq{avec} k = \frac{\sqrt{2 m E}}{\hbar}\textrm{,}$

alors, la solution générale dans chaque région est :

$\begin{align*} \psi_1(x) &= A_1 e^{ikx} + B_1 e^{-ikx} \\ \psi_2(x) &= A_2 e^{ikx} + B_2 e^{-ikx} \end{align*}$

Dans la région 0 ()

Dans la région 0 ( 0 < x < a ) où V(x) = V_0 on écrit :

$- \frac{\hbar^2}{2m} \dv[2]{\psi(x)}{x} = (E - V_0) \psi(x) \implies \dv[2]{\psi(x)}{x} = -\kappa^2 \psi(x) \qq{avec} \kappa^2 = \frac{- 2 m \abs{E - V_0}}{\hbar^2}\textrm{,}$

cette fois la solution générale est :

$\psi_0(x) = A_0 e^{\kappa x} + B_0 e^{-\kappa x}\textrm{.}$

Fonctions d’ondes

En écrivant les fonctions d’ondes qui correspondent :

$\begin{align*} \Psi_1(t, x) &= A_1 e^{i(kx - \frac{E}{\hbar} t)} + B_1 e^{-i(kx + \frac{E}{\hbar} t)} \\ \Psi_0(t, x) &= A_0 e^{\kappa x - i \frac{E}{\hbar} t} + B_0 e^{- \kappa x - i \frac{E}{\hbar} t} \\ \Psi_2(t, x) &= A_2 e^{i(kx - \frac{E}{\hbar} t)} + B_2 e^{-i(kx + \frac{E}{\hbar} t)} \end{align*}$

nous trouvons dans les régions 1 et 2 des équations d’ondes qui sont combinaisons linéaires d’ondes planes progressives (OPP). Les OPP associées aux coefficients A_i ( B_i ) correspondent à une propagation dans le sens () :

l’OPP associée au coefficient correspond à la particule incidente,
l’OPP associée au coefficient correspond à la particule réfléchie,
l’OPP associée au coefficient correspond à la particule transmise,
l’OPP associée au coefficient correspond à la particule qui aurait été réfléchie loin à l’infini.

Dans notre modèle simple, le seul « obstacle » est la barrière située entre x=0 et x=a : l’OPP associée à B_2 n’a donc pas lieu d’être, nous allons imposer B_2 = 0 .

Sur la solution globale

On remarquera qu’elle n’est pas de carré sommable. La particule se trouvera donc en réalité dans une combinaison linéaire (une superposition quantique) de ces états (que l’on appelle un paquet d’ondes). Notons que le spectre accessible est continu, il n’y a plus de quantification.

Réflexion et transmission

Voir si l’introduction/utilisation du courant de probabilités est nécessaire ou non. Il donne de toute façon $R = \abs{B_1}^2$ et $T = \abs{A_2}^2$ , comme nous l’interprétons déjà. Si oui, l’ajouter aux prérequis.

Donner le mode de calcul pour $R = \abs{A_2}^2$ et $T = \abs{B_1}^2$ en fonction de (et de A_1 comme paramètre). Mais ne pas le faire, car c’est très long et les expressions sont moches et vont prendre du temps à écrire.

Remarquer que R+T=1 .

Tracer les graphes des fonctions R(E) et T(E) en faisant apparaître la valeur de V_0 ; puis animer $\Psi(t, x)$ .

Présence « dans » la barrière

Remarquons que puisque R+T=1 , la probabilité de présence de la particule entre x=0 et x=a est nulle.

Cependant, si l’on y place un détecteur, on va détecter la particule (car on ajoute un trou !).

Ordres de grandeurs dans des potentiels réels

Microscope à effet tunnel

L’effet tunnel présente un intéret technologique…

Électrons dans les transistors

Mais il pose aussi des problèmes…

Particule $\alpha$ dans les noyaux lourds

S’il semble associé à des conditions bien spécifiques, n’oublions pas qu’il s’agit d’abord d’un phénomène naturel…

On pourra montrer qu’une particule d’énergie E > V_0 n’est pas indifférente à la présence de la barrière. Ensuite, on pourra discuter la modélisation de potentiels réels selon l’approximation WKB [1].