LP42 : Fusion, fission

Niveau : L3

Prérequis :

Atomistique
Classification périodique
Machines thermiques

Le graphe sur lequel on représente l’abondance des éléments chimique dans l’univers en fonction de leur numéro atomique, présente quelques particularités.

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SolarSystemAbundances.png?uselang=fr

Dans cette leçon, nous allons discuter des noyaux atomiques, nous proposerons un modèle semi-empirique pour les décrire et expliquer la tendance du graphe.

Nous parlerons de radioactivité, découverte par Henri Becquerel en 1896.

Le noyau atomique [1]

Densité et interactions internes

Rutherford a montré en 1932 que les atomes d’or étaient majoritairement vides, composés d’électrons qui circulent autour d’un noyau dont il put estimer la taille. Connaissant la taille du noyau et sa masse, on peut en calculer la densité :

$\begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{ l S[table-format=3.3] S[table-format=3.0] S[table-format=2.1e2]} \toprule \ce{^197_79Au} & {Rayon (\si{\pico\meter})} & {Masse (\si{\atomicmassunit})} & {Densité (\si{\kilo\gram\per\meter\cubed})} \\ \midrule Atome & 135 & 196 & 31e3 \\ Noyau & 0.027 & 196 & 3.9e15 \\ \bottomrule \end{tabular} \end{table}$

On constate que la densité nucléaire est bien supérieure à celle de la matière. On sait par ailleurs que les noyaux sont composés de protons, de charge . La force de Coulomb s’y exerce et doit être compensée par une autre pour assurer la stabilité des noyaux : c’est l’interaction forte qui joue ce rôle, en exerçant des forces attractives entre les nucléons.

$\begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{lSSr} \toprule Interaction & {Portée (\si{\meter})} & {Intensité (relative)} & Au sein du noyau \\ \midrule Gravitationelle & $\infty$ & e-26 & Négligeable \\ Électrostatique & $\infty$ & e-3 & Entre les protons \\ Forte & e-15 & 1 & Entre les nucléons \\ Faible & e-18 & e-7 & Entre particules élémentaires \\ \bottomrule \end{tabular} \end{table}$

On constate d’ailleurs, expérimentalement, une corrélation entre le nombre de protons et le nombre de neutrons.

Demie-vie des nucléides observés (age de l’univers $\SI{13.8e9}{\year}$ ) : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Isotopes_and_half-life.svg/2000px-Isotopes_and_half-life.svg.png

Simulation d’une population de particules dont la demie-vie est de $\SI{10}{\second}$ : https://meaningof42.github.io/radioactive/main.html

Composition et masse

Dans la suite de la leçon, on jongle entre les unités en suivant l’équivalence : $\SI{1}{\atomicmassunit} = \num{931.5}\flatfrac{\si{\mega\eV}}{c^2}$ . Certains ouvragent changent de système d’unité et posent c^2 = 1 de sorte à pouvoir écrire que $\SI{1}{\atomicmassunit} = \SI{931.5}{\mega\eV}$ , ce qu’on évitera ici. On utilisera en revanche l’unité d’énergie $\si{\atomicmassunit}c^2$ .

Une dernière chose à découvrir concernant les noyaux :

$\begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{cS[table-format=3.4]} \toprule Particule & {Masse (\si{\atomicmassunit})} \\ \midrule Proton & 1.0073 \\ Neutron & 1.0087 \\ \bottomrule \end{tabular} \end{table} \begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{cS[table-format=3.4]SSS} \toprule Particule & {Masse} & \multicolumn{2}{c}{Défaut de masse} & {Énergie de liaison par nucléons} \\ & {(\si{\atomicmassunit})} & {(\si{\atomicmassunit})} & {($\flatfrac{\si{\mega\eV}}{c^2}$)} & {($\si{u}c^2$)} \\ \midrule Noyau d'or \ce{^197_79Au} & 196.9272 & {\multirow{2}{*}{\num{1.6761}}} & {\multirow{2}{*}{\num{1561}}} & {\multirow{2}{*}{\num{7.92}}} \\ \ce{79 p + 118 n} & 198.6033 & & & \\ \midrule Noyau de deutérium \ce{^2_1H} & 2.0136 & {\multirow{2}{*}{\num{0.0024}}} & {\multirow{2}{*}{\num{2.24}}} & {\multirow{2}{*}{\num{1.12}}} \\ \ce{p + n} & 2.0160 & & & \\ \midrule Noyau de fer \ce{^56_26Fe} & 55.9216 & {\multirow{2}{*}{\num{0.5292}}} & {\multirow{2}{*}{\num{492.9}}} & {\multirow{2}{*}{\num{8.80}}} \\ \ce{p + n} & 56.4508 & & & \\ \bottomrule \end{tabular} \end{table}$

La somme de la masse des particules qui composent un noyau n’est pas égale à la masse du noyau. Il existe ce que l’on va appeler un défaut de masse (ou excès, selon ce que l’on regarde) :

$\Delta m = \qty[Z m_p + (A-Z) m_n] - m(A, Z) > 0\textrm{.}$

Les nucléons qui composent un noyau stable sont liés entre eux par des interactions attractives d’énergie E_l < 0 . Lorsque l’on veut dissocier un noyau stable en nucléons isolés, on doit apporter l’énergie B = -E_l . Par la relation d’Einstein E = m c^2 , on mesure dans le système de nucléons isolés, un excès de masse $\Delta m = \flatfrac{B}{c^2}$ .

Pour caractériser la stabilité des nucléons dans un noyau, il est plus pertinent de discuter de l’énergie de liaisons par nucléons, puisque pour deux noyaux de nombre de masses A_1 et A_2 > A_1 de même énergie de liaison B_1 = B_2 , l’énergie de liaison par nucléons $\frac{B_1}{A_1} > \frac{B_2}{A_2}$ nous renseignera sur l’énergie moyenne de chaque nucléon au sein du noyau.

En revenant sur les exemples précédents, on pourra dire que le noyau de fer est plus lié que le noyau d’or qui est plus lié que le noyau de deutérium.

Énergie de liaison par nucléons pour les isotopes les plus courants : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/Binding_energy_curve_-common_isotopes_FR.svg/690px-Binding_energy_curve-_common_isotopes_FR.svg.png

Rapidement, calculons la masse portée par l’énergie de liaison de l’électron dans l’atome d’hydrogène : $B = \SI{13.6}{\eV}$ , donc $\Delta m = \SI{1.5e-8}{\atomicmassunit}$ . Elle est négligeable.

Modèle de la goutte liquide

La valeur de l’énergie de liaison est prévisible par un modèle semi-empirique, dit de la goutte liquide, car nous allons modéliser le noyau comme un volume (une goutte) rempli de particules (les nucléons) parmi lesquelles celles en surface apportent une énergie négative.

La formule de Bethe-Weizsäcker (1936) s’énonce :

$B(A, Z) = \underbrace{E_v}_{\propto A} - \underbrace{E_c}_{\propto \frac{e^2 Z(Z-1)}{R}} - \underbrace{E_s}_{\propto 4\pi R^2} - \underbrace{E_a}_{\propto \frac{(A-2Z)^2}{A}}\textrm{.}$

Les quatre termes d’énergie sont :

l’énergie due à l’interaction forte ( pour volume)
l’énergie électrostatique ( pour Coulomb)
l’énergie de surface
l’énergie d’anti-symétrie (lié au principe d’exclusion de Pauli)

Une biblio qui explique le terme d’anti-symétrie ?

La densité nucléaire discutée plus haut et donnée pour l’atome d’or ( $\SI{3.9e15}{\kilo\gram\per\meter\cubed}$ ) est en fait constante pour tous les noyaux, on pourra écrire :

$\rho = \frac{4}{3} \pi R^3 \qq{et} \rho \propto A^3 \qq{d'où} R \propto A^{1/3}\textrm{.}$

Expérimentalement, $R = \num{1.2}\,A^{\flatfrac{1}{3}}\;\si{\femto\meter}$ . On a :

$B(A, Z) = a_v A - a_c \frac{Z(Z-1)}{A^{\flatfrac{1}{3}}} - a_s A^{\flatfrac{2}{3}} - a_a \frac{(A-2Z)^2}{A}\textrm{,}$

avec les valeurs numériques tabulées pour les coefficients :

$\begin{align*} a_v &\approx \SI{16}{\mega\eV} & a_c &\approx \SI{0.7}{\mega\eV} \\ a_s &\approx \SI{17}{\mega\eV} & a_a &\approx \SI{23}{\mega\eV} \\ \end{align*}$

Stabilité

Le modèle permet alors de prévoir l’isotope le plus stable d’un élément de la classification périodique. Une recherche des valeurs qui vérifient $\eval{\pdv{B}{A}}_Z = 0$ donnera l’équation de la vallée de stabilité présentée précédemment.

Sous cette compréhension de l’énergie de liaison, la courbe B(A, Z) présente le fer $\ce{^56Fe}$ comme extrémum le plus stable.

Les systèmes physiques gouvernés par des énergies potentielles évoluent de sorte à minimiser ces dernières, on comprend que certains processus analogues à des réactions chimiques peuvent être thermodynamiquement favorables, lorsque l’énergie augmente.

Fission

Fission spontanée

Nous étudions le processus :

$\ce{^{238}U -> ^{145}La + ^{90}Br + 3n}\textrm{,}$

on constate que le nombre de masses et le nombre de charges est bien conservé.

$\begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{cS[table-format=3.0]S[table-format=3.0]} \toprule Particule & {Énergie de liaison par nucléons (\si{\mega\eV})} & \\ \midrule \ce{^238_98U} & 1801 & 1801 \\ \midrule \ce{^145_57La} & 1199 & \\ \ce{^90_35Br} & 763 & 1962 \\ \ce{^1_0n} & 0 & \\ \bottomrule \end{tabular} \end{table}$

LP42 : Fusion, fission

Le noyau atomique [1]

Densité et interactions internes

Composition et masse

Modèle de la goutte liquide

Stabilité

Fission

Fission spontanée

Fission induite

Réacteurs à fission

Fusion

Fusion stellaire, l’origine des éléments

Réacteurs à fusion