LP43 : Évolution temporelle d’un système quantique à deux niveaux

Niveau : L3

Prérequis :

Suite à l’étude des potentiels confinant et de l’effet tunnel, qui étaient des premiers exemples d’exercices de mécanique quantique. Dans ces situations, on résolvait l’équation de Schrödinger indépendante du temps (i \hbar \pdv{\Psi}{t} = H \Psi \rightarrow H\Psi = E\Psi) et l’on obtenait des états stationnaires.

On s’intéresse dans cette leçon à des états quantiques qui sont superposition d’états stationnaires d’énergies différentes : ces états vont manifester une évolution temporelle non triviale.

Le double puits de potentiel : système à deux niveaux [1], [2], [3]

L’étude objet de cette leçon peut très bien se faire de manière abstraite en définissant des états \ket{1} et \ket{2} et une combinaison linéaire \ket{\Psi} = a\ket{1} + b\ket{2}, mais…

Les systèmes type « double puits » sont des systèmes qui peuvent fonctionner comme bonnes approximations de systèmes à deux niveaux. L’intérêt de les étudier dans cette leçon est de permettre une représentation visuelle pour laquelle on apprécie le système préparé en superposition d’états.

Exemples et modèle

Le problème du « double puits » fait référence aux situations dans lequelles on trouve deux puits de potentiels suffisament proches pour qu’il soit possible de passer de l’un à l’autre par effet tunnel. Dans les molécules chimiques les distances interatomiques sont de l’ordre de l’angström et les énergie de l’ordre de l’électronvolt ce qui rend l’électron susceptible à l’effet tunnel.

On considère l’ion \ce{H2+}, constituté d’un électron et deux protons. Le potentiel auquel est soumis l’électron correspond à l’ajout des potentiels de chaque proton.

Autre système du même type, la molécule d’ammoniac de géométrie pyramide trigonale est formée d’un atome d’azote et de trois noyaux d’hydrogène qui forment un plan. On peut décrire des vibrations de la molécule comme le déplacement de ce plan par rapport à l’atome d’azote.

Faire les dessins [1].

On s’intéresse donc au double puits dont la barrière, de hauteur V_0 et largeur \Delta, sépare les deux puits de largeur a.

Fonction d’onde

On étudie la situation où l’énergie E du système (la particule, qui est l’électron ou les trois hydrogènes), est inférieure à V_0. Comme d’habitude pour ce genre de problèmes on divise l’espace en régions que l’on nommera G, M et D et on définit :

k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} \qq{et} \kappa = \sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}}\textrm{,}

où m est la masse du système. On impose les conditions aux limites nulles, \phi(x = \pm (a + \flatfrac{\Delta}{2})) = 0.

En résolvant l’équation de Schrödinger stationnaires on trouve deux classes de fonctions d’ondes propres : des solutions symétriques \phi_s et des solutions anti-symétrique \phi_a.

\phi_s(x) = \left\{\begin{array}{ll} A \sin(k (a + \frac{\Delta}{2} + x)) &\qq{dans} G \\ B \cosh(k (a + \frac{\Delta}{2} + x)) &\qq{dans} M \\ A \sin(k (a + \frac{\Delta}{2} + x)) &\qq{dans} D \end{array}\right.

\phi_a(x) = \left\{\begin{array}{ll} -A \sin(k (a + \frac{\Delta}{2} + x)) &\qq{dans} G \\ B \sinh(k (a + \frac{\Delta}{2} + x)) &\qq{dans} M \\ A \sin(k (a + \frac{\Delta}{2} + x)) &\qq{dans} D \end{array}\right.\textrm{.}

\pyimgen{solve_schrodinger_AMMO}

On constate que dans les états stationnaires, la particule à la même probabilité d’être mesurée à gauche ou à droite. On remarque aussi que : \psi_s + \psi_a \defeq \psi_g correspond à un état où la particule est à gauche, alors que \psi_s - \psi_a \defeq \psi_d correspond à un état où la particule est à droite. Ces deux états, \psi_g et \psi_d semblent plus « raisonables » alors qu’ils ne sont pas des états propres. Rappelons que comme l’équation de Schrödinger est linéaire alors toute combinaison linéaire de solutions est une solution : on peut décrire le système aussi bien avec un couple qu’avec l’autre.

Pour ne pas perdre de généralités en le décrivant avec \psi_g et \psi_d on doit toutefois s’assurer que ces deux états forment une base si possible orthonormée, comme \psi_s et \psi_a le font. Les deux calculs \bra{\psi_d}\ket{\psi_d} = \int \psi_d \psi_d^* et \bra{\psi_g}\ket{\psi_g} = \int \psi_g \psi_q^* donnent tous les deux 2. Le calcul \bra{\psi_g}\ket{\psi_d} = \int \psi_g \psi_d^* donne 0. Les deux fonctions d’onde sont orthogonales mais pas normées : on pourrait plutôt choisir \psi_g \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\psi_g et \psi_d \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\psi_d, mais cela à très peu d’importance pour la suite.

Niveaux d’énergie

La continuité de la fonction d’onde permet de calculer les valeurs des énergies E_s et E_a associées aux deux états stationnaires, et sous certaines approximations [1] on trouve des expressions littérales.

Évolution temporelle

La molécule d’ammoniac dans un champ électrique

Couplage avec le champ

Hamiltonien et niveaux d’énergie