LP47 : Mécanismes de la conduction électrique dans les solides

Dans cette leçon nous allons nous intéresser à l’origine microscopique du courant électrique. Nous verrons que l’on peut à partir d’un modèle simple retrouver la loi d’Ohm, mais ce modèle sera rapidement mis en défaut par des résultats expérimentaux plus généraux.

Modèle classique de la conduction électrique [1]

Courant et densité de courant

Dès le collège on apprend que le courant électrique est dû à un déplacement de charges portées par des électrons mobiles. Plus formellement, l’intensité du courant électrique, c’est la quantité de charges qui traversent une surface du conducteur par unité de temps. Si l’on suppose que l’ensemble des électrons se déplace à une vitesse moyenne , alors :

$i = \frac{n (-e) (S v \dd t)}{\dd t} = - n e S v\textrm{.}$

En effet, les électrons traversant la surface entre et $t + \dd t$ sont ceux qui à l’instant se trouvaient dans le volume $S v \dd t$ . On appelle densité de courant la quantité surfacique :

$j = - n e v \implies i = \iint_S j \dd S\textrm{,}$

l’intérêt d’introduire cette grandeur étant de pouvoir étudier des situations où la densité de courant sur une surface n’est pas constante.

Faire un dessin des électrons qui traversent la section.

On peut rechercher une expression théorique de la densité de courant (en fait ici, de la vitesse moyenne ) en appliquant la mécanique classique aux électrons, on se demande alors quels sont les forces exercées sur ces derniers.

Hypothèses de Drude

Origine des électrons

D’abord il convient de discuter l’origine des électrons présents et libres de se déplacer dans le milieu. Pour un métal, nous supposerons que les électrons de valence engagés dans les liaisons métalliques sont très peu liés à leur atome « d’origine » et donc susceptibles de se déplacer sur plusieurs distances interatomiques. Éventuellement, l’ensemble des électrons peut se « décaler » par rapport à l’ensemble des atomes « d’origine ». On distingue ainsi les électrons de conduction des électrons liés. Les électrons de conduction sont susceptibles de se déplacer au coeur d’un réseau d’ions.

Faire un petit schéma ou une animation avec les électrons de liaison et les électrons de coeur.

Principe fondamental de la dynamique

Pour mettre en mouvement les électrons, nous appliquons une différence de potentiel aux extrémités du conducteur. Cette différence de potentiel se traduit dans le millieu par l’existence d’un champ électrique $\vb{E}$ . Les électrons étant en mouvement, nous considérons dans un premier temps égallement l’existence d’un champ magnétique $\vb{B}$ .

Si les électrons étaient totalement libres, alors clairement le principe fondamental de la dynamique indiviudel s’écrirait :

$m \dv{\vb{u}_i}{t} = - e \qty(\vb{E} + \vb{u}_i \crossproduct \vb{B}) \approx - e \vb{E}\textrm{.}$

Les électrons seraient donc animés d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré. L’hypothèse d’électrons totalement libres est une hypothèse assez forte, et l’on constate qu’elle même à un problème : le courant ne devrait cesser d’augmenter.

Mais nous l’avons dit les électrons évoluent dans un réseau d’ions : ils sont donc soumis à des forces électrostatiques et éventuellement des forces de contact. N’oublions pas non plus les interactions inter-électrons.

Drude (en 1900), dans le contexte de la découverte des électrons (Thomson, 1897) propose d’étudier le problème par assimilation à la théorie cinétique des gaz (1800).

Nous supposerons que les forces électrostatiques sont peu importantes devant celle exercés par le champ $\vb{E}$ extérieur. Concernant les forces de contact c’est à dire les chocs entre les électrons et les ions du réseau ; nous les modéliserons par une force statistique. L’idée est de dire que, en moyenne, les chocs corresponent à des échanges aléatoires de quantité de mouvement. Un électron qui à une vitesse $\vb{u}_i'$ juste avant un choc aura une vitesse $\vb{u}_i'$ qui en est complètement indépente juste après le choc. Dans ce cadre nous pouvons dire que chaque électron se comporte comme un électron libre entre le chocs, qui sont en moyenne espacés d’une durée $\tau$ . La quantité de mouvement aquise par chaque électrons entre deux chocs s’écrit alors :

$m \qty(\vb{u}_i(t) - \vb{u}_i(t - \tau)) = - e \vb{E} \tau\textrm{.}$

Tenir compte de l’aspect aléatoire de chaque choc posera problème mais, sur l’ensemble des électrons cette composante de la vitesse va disparaître :

$\vb{v}(t) = \avg{\vb{u}_i(t)} = \avg{\vb{u}_i(t - \tau) - \frac{e}{m}\vb{E}\tau} = \frac{-e\tau}{m}\vb{E}\textrm{.}$

Sous ces hypothèses, l’ensemble des électrons sous l’influence du champ $\vb{E}$ est donc accéléré jusqu’à une vitesse limite. Le problème est très analogue à celui de la chute d’un corps dans un fluide visqueux.

Loi d’ Ohm locale, loi d’ Ohm

De la vitesse $v = \norm{\vb{v}}$ , on peut exprimer la densité de courant :

$\vb{j} = - n e \vb{v} = \frac{ne^2\tau}{m}\vb{E} \defeq \sigma \vb{E}\textrm{.}$

C’est la loi d’ Ohm locale, $\sigma$ est la conductivité électrique.

On peut calculer l’intensité du courant à travers le conducteur de surface et de longueur :

$i = \sigma \norm{\vb{E}} S = \sigma \norm{-\grad{V}} S = \sigma \frac{S}{L} U = G U\textrm{,}$

$\sigma$ est la conductivité, $G = \sigma \flatfrac{S}{L}$ la conductance. Sous une forme plus habituelle, on a trouvé la loi d’ Ohm :

$U = \frac{i}{G} = R i\textrm{,}$

avec une forme connue pour la résistance $R = \rho \flatfrac{L}{S}$ où $\rho$ est la résistivité. On retrouve bien les dépendances attendues vis-à-vis des dimensions géométriques.

Résumons :

$\begin{gather*} \vb{j} = \frac{ne^2\tau}{m}\vb{E} \\ U = \frac{L}{S} \frac{m}{ne^2\tau} i \end{gather*}$

Validation du modèle

Valeur de la conductivité

Pour valider notre modèle, on doit pouvoir donner une valeur à $\tau$ , temps moyen entre deux chocs, qui est directement lié au libre parcourt moyen par $v \tau = l$ . Il faudra donner une valeur à .

Il semble raisonable de prendre pour ordre de grandeur de la distance inter ions, prenons $l = n^{\flatfrac{2}{3}} \approx \SI{1}{\angstrom}$ .

Drude a appliqué la statistique de la théorie cinétique des gaz ( Maxwell-Boltzmann) aux électrons de sorte à affirmer, en ordre de grandeur :

$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{3}{2} k_B T\textrm{,}$

pour la vitesse moyenne des électrons dans un métal à la température . Finalement,

$\sigma = \frac{n^{\flatfrac{2}{3}} e^2}{\sqrt{3 k_B T m}}\textrm{.}$

En pratique on tablue plutôt la résestivité $\rho = \flatfrac{1}{\sigma}$ : l’application numérique pour le cuivre donne une valeur de $\rho_{\ce{Cu}} = \SI{21e-8}{\ohm\meter}$ , avec la densité $n = \SI{8.47e22}{\per\centi\meter\cubed}$ à . La valeur est à comparer avec la valeur expérimentale : $\rho_{\ce{Cu}}^{\mathrm{exp}} = \SI{1.58e-8}{\ohm\meter}$ . En plus, notre modèle prévoit $\rho \propto \sqrt{T}$ or, expérimentalement on constate plutôt $\rho^{\mathrm{exp}} \propto T$ .

En fait [2], la statistique de Maxwell-Boltzmann ne s’applique pas en raison de la nature quantique des électrons. Cette correction au modèle de Drude constitue le modèle de Sommerfeld.

En appliquant la statistique de Fermi-Dirac pour les fermions on trouve que :

la vitesse moyenne ne dépend pas de la température
le libre parcourt moyen est de l’ordre de $\SI{300}{\angstrom}$ à température ambiante

la dépendance de la résistivié à la température est linéaire et liée aux impuretés et aux phonons qui traduisent les vibrations du réseau (voir ).

\pyimgen{conductivite_metaux}

Mesure de la densité des porteurs de charge

On peut imaginer une animation interactive pour expliquer l’effet Hall dans laquelle on peut envoyer les électrons un-à-un. Mais c’est un gros travail

Mesure avec l’effet Hall sur un semi-conducteur.

Faire le calcul et bien expliquer l’expérience.

Faire remarquer que les ions du réseau sont eux aussi soumis au champ de Hall, et que c’est ce champ qui donne lieu à la force de Laplace.

On constate dans cette expérience que les porteurs de charge sont positifs

Autres validations

Nous pouvons citer quelque autres problèmes associés à ce modèle [1] :

Si l’on considère les électrons comme quasi-libres dans le métal alors leur énergie ( $\frac{1}{2}m\vb{v}^2$ ) doit compter pour $\frac{3}{2} k_B T$ dans l’expression de la capacité thermique du métal. Expérimentalement, on mesure $c_v \propto \frac{6}{2} k_B T$ , ce qui correspond uniquement aux ions.
Nous distinguons les métaux des isolants par le type de liaison chimique engagées entre les atomes mais, nous n’avons aucun moyen de prévoir le comportement d’un matériaux donné.

Il faut dire quelque mots sur la conduction en courant alternarif [1].

À décider entre le modèle de Sommerfeld et la théorie des bandes [1], kittel.

Le modèle de Sommerfeld apporte peu dans cette leçon car il n’explique pas non plus le cas des trous dans les semi-conducteurs.

La théorie des bandes, c’est vite compliqué et on risque de ne pas en dire assez.