LP48 : Phénomènes de résonance dans différents domaines de la physique

Dans les leçons de mécanique, d’électricité, d’électromagnétisme, nous avons souvent résolu des problèmes qui menaient à la même équation différentielle que nous avons appelée : équation différentielle de l’oscillateur harmonique amorti. En conséquence, même s’il s’agissait de phénomènes physiques différents le comportement du problème vis-à-vis des paramètres qui le décrivaient était le même.

Dans cette leçon, nous allons très rapidement revenir sur cette équation, et les conditions nécessaires pour l’obtenir mais surtout, généraliser les propriétés de ses solutions pour étudier un phénomène particulier : la résonance du système vis-à-vis d’une excitation périodique. La résonance, c’est la valeur particulière de fréquence dans le spectre d’excitation pour laquelle la réponse du système est d’amplitude maximale.

Illustrer la résonance avec un système masse-ressort, ou le diapason excité.

Oscillateurs harmoniques forcés et amortis

Présentation des systèmes

Différents systèmes pour lesquels nous avons établi l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique amorti sont :

$\begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{cccc} \toprule Système & $u$ & $\omega_0$ & $\tau$ \\ \midrule Masse-ressort & $x$ & $\displaystyle\sqrt{\frac{k}{m}}$ & $\displaystyle\frac{m}{\alpha}$ \\ RLC série & $i$ & $\displaystyle\sqrt{\frac{1}{LC}}$ & $\displaystyle\frac{1}{RC}$ \\ Pendule ammorti & $\theta$ & $\displaystyle2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ & $\displaystyle\frac{\alpha}{mL^2}$ \\ Électron élastiquement lié & $r$ & $\displaystyle\sqrt{\frac{n_0 e^2}{m \epsilon_0}}$ & $\displaystyle\frac{m}{\alpha}$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{table}$

Dans tous ces cas, nous trouvions l’équation de l’oscillateur harmonique amorti :

$\frac{1}{\omega_0^2} \dv[2]{u}{t} + \frac{1}{Q\omega_0} \dv{u}{t} + u(t) = 0 \textrm{.}$

Régime forcé, réponse harmonique

Telle qu’écrite précédement l’équation différentielle s’associe à un système qui oscille naturellement. Dans le cadre de ce que l’on appelle « régime forcé », comme sur l’expérience introductive, l’expérimentateur perturbe le système avec un signal périodique harmonique à la fréquence $\omega$ . Dans ce cas, l’étude des systèmes montrerait que le second membre de l’équation n’est plus nul :

$\frac{1}{\omega_0^2} \dv[2]{u}{t} + \frac{1}{Q\omega_0} \dv{u}{t} + u(t) = U_0 \sin(\omega t) \textrm{.}$

Lorsque l’on étudie la réponse harmonique du système, on cherche des solutions de la forme de la perturbation :

$u(t) = U\sin(\omega t) \textrm{.}$

L’étude qui va suivre est bien plus simple à mener dans une représentation harmonique avec la notation complexe :

$\begin{gather*} \z{u}(\omega) = \z{U} e^{i \omega t} \\ - \qty(\frac{\omega}{\omega_0})^2 \z{u} + \frac{i}{Q} \qty(\frac{\omega}{\omega_0}) \z{u} + \z{u} = \z{U_0} e^{i \omega t} \end{gather*}$

on pose désormais la pulsation réduite $x = \flatfrac{\omega}{\omega_0}$ ,

$\begin{align*} - x^2 \z{u} + \frac{i}{Q} x \z{u} + \z{u} = \z{U_0} e^{i \omega t} &\implies \z{U} \qty[-x^2 + \frac{i}{Q} x + 1] = \z{U_0} \\ &\implies \z{H}(x) \defeq \frac{\z{U}}{\z{U_0}} = \frac{1}{1 + \frac{i}{Q} x - x^2 } \end{align*}$

La dernière égalité nous donne le rapport entre l’amplitude complexe de la réponse du système et l’amplitude complexe de la perturbation périodique, en fonction de la pulsation réduite et du facteur de qualité . On dit que le système se trouve au point de résonance quand le module de ce rapport est maximal.

Le calcul de $\pdv{\abs{\z{H}}}{x}$ montre que pour certaines valeurs du facteur de qualité ( $Q < \sqrt{\flatfrac{1}{2}} \approx \num{0.7}$ ) il n’y a pas de résonance. Le même calcul permet de déterminer la pulsation de résonance : $\omega_r = \omega_0 \sqrt{1 - \flatfrac{1}{2Q^2}}$ .

Le calcul de $\arg(\z{H})$ et le graphe donnent le déphasage de la réponse vis-à-vis de l’impulsion et montrent une particularité à la pulsation propre du système, où les deux signaux sont en quadrature de phase.

\pyimgen{resonance_facteur_de_qual}

Fonction de transfert, diagramme de Bode, conditions de résonance, bien faire le lien entre pulsation propre et pulsation de résonance.

Utilisaiton des phénomènes de résonance

Transfert d’énergie

Transfert d’énergie optimal entre deux circuits RLC à la même pulsation de résonance. Influence du facteur de qualité.

Sélection de féquence

Utilisation du RLC comme passe bande

Cavités résonancetes : exemple du Fabry-Perrot

Autre type de résonateur. Étude sous formalisme entrée/sortie. Tracé du diagramme de Bode. Finesse, facteur de qualité. Multiples résonnances.