LP49 : Oscillateurs ; portraits de phase et non-linéarités

La physique étant une science expérimentale, on aime bien présenter les expériences avant les calculs. Mais dans cette leçon le but est de montrer que l’on peut prévoir le comportement des systèmes à partir de calculs simples. On fera parfois les expériences après.

Notion sur les portraits de phase : oscillateur harmonique libre

Le portrait de phase [1]

On considère un oscillateur harmonique classique, l’équation « du mouvement » s’écrit :

$\dtt{x} + \omega^2 x = 0 \textrm{,}$

on peut rappeler différentes situations physiques :

$\begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{lcc} \toprule Système & $x$ & $\omega^2$ \\ \midrule Masse-ressort & position & $\flatfrac{k}{m}$ \\ Circuit LC & tension $u_c$ & $\flatfrac{1}{LC}$ \\ Pendule simple & angle & $\flatfrac{g}{l}$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{table}$

Les solutions sont toujours du type :

$\begin{align*} x(t) &= x_0 \cos(\omega t + \phi) \\ \implies \dt{x}(t) &= - \omega x_0 \sin(\omega t + \phi) \end{align*}$

L’énergie mécanique du système masse ressort s’écrit :

$\begin{align*} E &= \frac{1}{2} m \dt{x}^2 + \frac{1}{2} k x^2 \\ \implies \mathcal{E} &\defeq \frac{2}{m} E = \dt{x}^2 + \omega^2 x^2 \end{align*}$

On appelle portrait de phase le graphe de la fonction $\dt{x} = \fof(x)$ . Les égalités déterminées ci dessus permenttent de déterminer que le portrait de phase de l’oscillateur harmonique en régime libre correspond à une ellipse.

Tracer les deux au tableau, pour différentes énergies (le « rayon » des ellipses).

Tracer le portrait de phase du pendule dans les petits angles sur .

Le portrait de phase nous renseigne graphiquement sur l’évolution temporelle du système à partir de conditions initialles données (paires x_0 et $\dt{x}_0$ ). Alors on peut comprendre que plusieur conditions initiales peuvent mener à la même évolution temporelle.

Dire quelque part qu’on parle de trajectoires.

De manière remarquable on comprend égallement que si deux courbes se croisent dans le portrait de phase, cela signifie que le système pourrait suivre deux évolutions temporelles différentes à partir d’une condition initiale.

Le portrait de phase sans résoudre l’équation différentielle

L’équation différentielle était :

$\dtt{x} + \omega^2 x = 0 \textrm{,}$

voyons si l’on peut tracer le portrait de phase sans la résoudre.

Pour mieux comprendre ce que nous allons faire, on renomme la grandeurs portée sur l’axe des ordonnées :

$\dt{x} \defeq v \textrm{.}$

On peut alors écrire :

$\left\{\begin{array}{ll} \dt{x} = v \\ \dt{v} = - \omega x \end{array}\right. \implies \left\{\begin{array}{ll} x(t + \dd t) = x(t) + v \dd t \\ v(t + \dd t) = v(t) - \omega x \dd t \end{array}\right. \implies \left\{\begin{array}{ll} \dd x = v \dd t \\ \dd v = - \omega x \dd t \end{array}\right.$

Cela revient à dire que pour chaque point (x, v) du portrait de phase, on peut déterminer la position du point « suivant » $(x + \dd x, v + \dd v)$ qui sera occupé par le système. On représente schématiquement le résultat de notre travail sur le portait de phase par des flèches qui pointent d’un point vers l’autre.

Les trajectoires suivies par le système sont celles qui sont tangentes au réseau de flèches.

\pyimgen{portrait_de_phase_OH}

Autres exemples sur l’oscillateur harmonique

Régime amorti

$\begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{llccc} \toprule Système & Amortissement & $x$ & $\omega^2$ & $Q$ \\ \midrule Masse-ressort & frottement fluide & position & $\flatfrac{k}{m}$ & $\frac{1}{\alpha}\sqrt{\frac{k}{m}}$ \\ Circuit LC & résistivité & tension $u_c$ & $\flatfrac{1}{LC}$ & $\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$ \\ Pendule simple & frottement fluide & angle & $\flatfrac{g}{l}$ & $\frac{m}{\alpha}\sqrt{gl^3}$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{table}$

Reprendre le calcul pour le du pendule, vérifier l’homogénéité.

L’équation différentielle pour un oscillatuer harmonique amorti est :

$\dtt{x} + \frac{\omega}{Q} \dt{x} + \omega^2 x = 0 \textrm{.}$

On écrit alors le système d’équations qui permet de tracer le portrait de phase :

$\left\{\begin{array}{ll} \dt{x} = v \\ \dt{v} = - \frac{\omega}{Q} v - \omega^2 x \end{array}\right. \implies \left\{\begin{array}{ll} \dd x = v \dd t \\ \dd v = - \frac{\omega}{Q} v \dd t - \omega^2 x \dd t \end{array}\right.$

\pyimgen{portrait_de_phase_OH_amorti}

Dans cette exemple la trajectoire de phase est une spiarle qui converge vers le centre du graphique : la position stable du système. On dit que ce point est un attracteur.

Contrairement à l’oscillateur harmonique non amorti, les trajectoires ici ne sont pas fermées : le système n’oscille pas indéfiniement car l’énergie n’est pas conservée. L’énergie du système s’écrit toujours $E = \frac{1}{2} m \dt{x}^2 + \frac{1}{2} k x^2$ et est proportionnelle à $\mathcal{E} = \dt{x}^2 + \omega^2 x^2$ , donc à la distance du centre du graphe jusqu’au point qui correspond à son état. On lit aisément sur le portrait de phase que l’énergie du système amorti dimminue au cours du temps.

Parler des valeurs de et de sa siginfication, et de sa lecture graphique.

Régime forcé

\pyimgen{portrait_de_phase_OH_force}

En pratique, il n’est pas évident de forcer un pendule on utilise plutôt le circuit RLC série pour illustrer ce portrait de phase.

L’équation différentielle pour un oscillateur harmonique en régime forcé s’écrit :

$\dtt{x} - \frac{\omega}{Q} \dt{x} + \omega^2 x = \Gamma \cos(\omega_m t)$

où le second membre correspond au couple moteur.

Attention, $\Gamma$ n’est pas homogène à un couple, mais le second membre y correspond qualitativement, bien vérifier tout ce qu’on dit.

On peut donc écrire :

$\left\{\begin{array}{ll} \dt{x} = v \\ \dt{v} = - \frac{\omega}{Q} v - \omega^2 x + \Gamma\cos(\omega_m t) \end{array}\right.$

Ce qui pose problème ici, c’est que les flèches dans le portrait de phase vont dépendre de l’instant auquel le tracé correspond. L’outil numérique permet de prédire les trajectoires sans problème, mais… ?

Systèmes non linéaires

Pendule en dehors de l’approximation des petits angles

Jusqu’ici nous avons présenté le pendule comme un oscillateur harmonique mais nous savons que l’équation différentielle issue du principe fondamental de la dynamique est :

$\dtt{x} - \frac{\omega}{Q} \dt{x} + \omega^2 \sin(x) = 0$

Cette équation différentielle non linéaire est plus difficile à résoudre mathématiquement. Mais heureusement, nous avons vu que cela ne vas pas être nécessaire. On peut tracer le portrait de phase du pendule et constater que :

\pyimgen{portrait_de_phase_pendule}

Oscillateur de Van der Pol ?

quartique ?

enrichissement spectral ?