MP03 : Dynamique des fluides

Dans ce montage, on étudie différents régimes d’écoulements qui donnent lieux à des équations de dynamique différentes, mais toutes des cas particuliers de l’équation de Navier-Stokes.

On calculera systématiquement le nombre de Reynolds de l’écoulement étudié.

Régime de Stokes, écoulement rampant

On étudie la chute d’une petite bille dans le glycérol.

Résultat attendu

La vitesse doit suivre une loi en $v(t) = v_{lim} (1 - \exp(\flatfrac{t}{\tau}))$ . Le principe fondamental de la dynamique permet d’établir (dans le cas où la force de frottements est en $f \propto v$ ) : $v_{lim} = \frac{mg}{6\pi\eta_g R}\qty(1-\frac{\rho_g}{\rho_b})$ . On peut en déduire la viscosité dynamique du glycérol de $\glsfull{dynviscgylcerol}$ .

Mesures

Il faut absolument prendre une vidéo de la chute et faire un pointage pour pouvoir modéliser la vitesse v(t) . Le régime transitoire est dominant et on doit mesurer la vitesse limite.

Remarques

Le régime transitoire de temps caractéristique $\tau$ s’estime simplement par le principe fondamental de la dynamique comme $\tau = \frac{m}{6\pi\eta_g R}$ .

Écoulement de Poiseuille : mesure de la viscosité dynamique de l’eau avec le vase de Mariotte

Cette manip est intéressante d’un point de vue théorique mais donne de mauvais résultats expérimentaux.

Résultat attendu

La valeur tabulée est de $\glsvalue{dynviscwater}$ . Le débit volumique pour un écoulement laminaire dont le profil de vitesse est parabolique s’exprime : $D_v = \frac{\pi r^4}{8 \eta l} (P_A - P_B)$ avec P_A la pression à l’entrée du tube d’écoullement et P_B la pression à la sortie.

Mesures

On mesure le débit volumique en eau par pesée suite à un écoulement dont la durée a été chronométrée. On pourra tracer $D_v = \fof(\Delta P)$ pour calculer $\eta$ .

Remarques

Cette manip ne donne jamais une bonne valeur mais on peut la présenter en discutant les difficultés expérimentales et les raisons de l’erreur.

Supléments

Pourquoi le tube est-il si long~?

Pour que l’expression du débit volumique soit valable (c’est à dire que le profil de vitesse soit parabolique) on doit s’assurer que l’écoulement est laminaire.

La diffusion de quantité de mouvement (de vitesse) s’exprime : $\rho \pdv{v}{t} = \eta \pdv[2]{v}{y}$ pour un écoulement selon . En ordre de grandeur, on en déduit l’épaisseur de la couche limite : $\delta(t) = \sqrt{\frac{\eta}{\rho} t}$ , d’où en position : $\delta(x) = \sqrt{\frac{\eta}{\rho} \frac{x}{\flatfrac{D_v}{S}}}$ .

On s’intéresse à l’endroit où $\delta(x_l) = r_{tube}$ , soit : $x_l = \frac{D_v}{\mu \pi}$ il faut s’assurer que : x_l < L .

Équation de Bernoulli

Tube de Venturi

Tube de Pitot

On vérifie içi que l’équation de Bernoulli donne un résultat satisfaisant l’expérience concernant concernant la relation entre pression et vitesse. On étudie le fonctionnement d’un capteur de vitesse qui se repose sur cette loi.

Résultat attendu

On doit avoir $v^2 = 2 g \Delta h$ où $\Delta h$ est la différence de hauteur du niveau d’eau. On vérifiera que l’on retrouve la valeur de $\glssymbol{g}$ .

Mesures

On relève la vitesse avec un anémomètre à hélices de référence, et on mesure $\Delta H$ ou $\Delta P$ selon le montage du tube de Pitot.

Remarques

La sensibilité de la mesure est grande vis-à-vis de la position du tube de Pitot.

Ondes capilaires, ondes de gravité : différents régimes des ondes dans les fluides

À faire absolument en TP.