MP25 : Mesure des fréquences temporelles (domaine de l’optique exclu)

Dans ce montage, nous présentons des principes de mesures : il ne va pas s’agir de quantifier présisément des fréquences mais de découvrir le fonctionnement des fréquencemètres, l’analyse spectrale de Fourier et ses avantages, ainsi qu’une méthode de mesure qui permettra de déterminer la fréquence de signaux bien plus rapides que les interfaces d’aqcuisiton.

Mesure par comptage : fréquencemètres numériques

Pour mesurer la fréquence d’un pendule, nous utilisons un chronomètre et comptons le nombre d’oscillations effectuées pendant secondes. Les fréquencemètres numériques fonctionnenent sur le même principe, par le moyen d’une électronique logique dont les temps de basculements sont bien plus courts que les réflexes humains.

Pont de Wien

Le pont de Wien permet de déterminer simplement la fréquence d’un signal électronique. Contrairement aux autres mesures présentées celle ci ne nécessite pas de fréquence de référence.

Analyse du signal, transformée de Fourier

Les systèmes précédents ne sont efficaces que pour mesurer la fréquences de signaux monochromatiques En pratique dès que l’on va s’intéresser à un signal non sinusoidal on utilisera l’outil informatique pour calculer la transformée de Fourier discrète (TFD) du signal temporel.

Spectre d’un signal

La TFD pour un signal s_n = s(t = n T_e) de N échantillons est définie par :

S_k = \sum_{n=0}^{N-1} s_n e^{-2 i \pi k \frac{n}{N}} \qq{pour} 0 \le k < N
Le spectre du signal est donné par :
A(f = k f_e) = S_k
À la condition que la période d’échantillonage f_e soit supérieure au double de la fréquence f_s du signal échantilloné, la TFD permet de calculer le spectre du signal continu.

La TFD nécessite un échantillonage du signal temporel. Cet échantillonage est limité en fréquence par l’interface d’acquisition (fréquence d’échantillonage f_e). Mesurer des signaux de haute fréquence (f > f_e) semble donc impossible mais heureusement, deux trick fantastic mathématiques vont nous permettre de le faire.

La transformée de Fourier rapide, que l’on évoque souvent sous l’acronyme FFT, est un algorithme de calcul pour la TFD, qui s’applique dès lors que le nombre de points N est une puissance de 2.

Il faudrait discuter de la précision en fréquence de la TFD, l’antagonisme entre N et f_e, la condition de Shannon

Mesure par comparaison

Addition de signaux : battements

On exploite le phénomène de battements pour déterminer la fréquence inconnue d’un diapason lesté (\Delta f \approx \SI{10}{\hertz}), en simulant un appareil de mesure peu performant avec (on règle très peu de points (N = \num{128}), pour une durée d’aquisiton de l’ordre de soit f_e = \SI{6.4}{\hertz} > 2 f_b).

Multiplication de signaux : modulation

s(t) = \alpha\sin(\omega_1 t + \phi_1) \cdot \beta\sin(\omega_2 t + \phi_2)
la trigonométrie donne :
s(t) = \frac{\alpha\beta}{2} \qty(\sin(\omega_+ t + \phi_+) + \sin(\omega_- t + \phi_-))
en notant :

\begin{align*} \omega_+ = \omega_1 + \omega_2 \qq{et} & \omega_- = \omega_1 - \omega_2 \\ \phi_+ = \phi_1 + \phi_2 \qq{et} & \phi_- = \phi_1 - \phi_2 \end{align*}

Dans le spectre du signal modulé on retrouve la différence et la somme des fréquences.