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| #!/usr/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.optimize as spo
# https://physique-pt-cluny.monsite-orange.fr/file/a016cc98ec2bb13e2494ea50256faf64.pdf
################################################################################
Text = 23 # °C, température extérieure
a = 12e-2 # m, pas de mesure de la température
k = 1 # mV/°C ?, gain des capteurs de température
L = 0.846 #m, longueur de la barre
R = 0.011 # m, rayon de la barre
Palim = 20 # W, puissance du bloc chauffant
rho = 8.9e3 # kg/m3, masse volumique
c = 385 # J/kg/K, capa calo
################################################################################
# data = [Instant de mesure (s), *[Valeurs relevées (°C)]]
mesures = np.asarray([
[100, 23.8,23.1,23.0,23.0,23.0],
[200, 28.1,24.2,23.2,23.0,23.0],
[300, 33.8,26.9,24.2,23.2,23.1],
[400, 37.8,29.9,25.8,24.0,23.3],
[500, 40.7,32.5,27.5,24.9,23.8],
[600, 42.9,34.6,29.3,25.9,24.4],
[700, 44.7,36.5,30.8,27.1,25.1],
[800, 46.0,38.1,32.2,28.3,25.9],
[900 ,47.1,39.3,33.5,29.4,26.7],
[1000,48.1,40.5,34.6,30.3,27.5],
[1100,48.8,41.5,35.6,31.3,28.4],
[1200,49.5,42.4,36.5,32.2,29.2],
[1300,50.2,43.1,37.4,33.1,29.9],
[1400,50.8,43.9,38.3,33.9,30.5],
[1500,51.1,44.5,38.9,34.5,31.1],
[10000,56.4,51.6,47.3,43.2,39.1]
])
mesures_offset = np.asarray([
[0000, 0, 0, 0, 0, 0]
]) # utile si les capteurs donnent des valeurs différentes au départ
mesures[:, 1:] = (mesures[:, 1:] - mesures_offset[:, 1:]) * k
Vx = a * np.arange(len(mesures[0]) - 1) # Positions des mesures
Vt = mesures[:, 0] # Instant des mesures
VT = mesures[:, 1:] # Températures mesurées
################################################################################
################################################################################
################################################################################
# Plot Tx = f(t)
plt.figure(0)
plt.xlabel(r'$t$ / s')
plt.ylabel(r'$T$ / °C')
plt.title(r'Température en fonction du temps')
for xx in range(len(Vx)):
plt.plot(Vt, VT[:, xx], label='$x={}$m'.format(Vx[xx]))
plt.legend()
# Plot Tt = f(x)
plt.figure(1)
plt.xlabel('$x$ / m')
plt.ylabel('$T$ / °C')
plt.title(r'Température en fonction de la position')
for tt in range(len(Vt)):
plt.plot(Vx, VT[tt], label='$t={}$s'.format(Vt[tt]))
plt.legend()
################################################################################
# Dérivées (seulement celles qui sont utiles)
# Calcul des dérivées
dt = []
d2x = []
for xx in range(1, len(Vx) - 1):
for tt in range(1, len(Vt) - 1):
dt.append((VT[tt+1, xx] - VT[tt-1, xx]) / (Vt[tt+1] - Vt[tt-1]))
d2x.append((VT[tt, xx+1] - 2*VT[tt, xx] + VT[tt, xx-1]) / ((Vx[xx+1] - Vx[xx-1])/2)**2)
dt = np.asarray(dt)
d2x = np.asarray(d2x)
# Plot de la relation de diffusion (d2x = D * dt)
plt.figure(2)
plt.xlabel(r'$\frac{d^2 T}{d x^2}$')
plt.ylabel(r'$\frac{d T}{d t}$')
plt.title(r'Équation de diffusion: $\frac{d T}{d t} = D \cdot \frac{d^2 T}{d x^2}$')
plt.plot(dt, d2x, marker='+', linestyle='None')
################################################################################
# Calcul de la valeur moyenne de lambda
D = dt / d2x
D = D[np.logical_not(np.isnan(D))]
D = D[np.logical_not(np.isinf(D))]
l = rho*c*D
avg = np.mean(l)
std = np.std(l)
print('Conductivité thermique lambda')
print(' Moyenne de lambda: {} W/m/K'.format(avg))
print(' Écart type sur lambda: {} W/m/K'.format(std))
l = 389 # W/m/K
print(' Valeur tab de lambda: {} W/m/K'.format(l))
print()
################################################################################
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# Loi de Fourier, régime permanent
VTperm = VT[-1]
plt.figure(3)
plt.xlabel(r'$x$ / m')
plt.ylabel(r'$T$ / °C')
plt.title(r'Température en fonction de la position, en régime permanent')
plt.plot(Vx, VTperm, marker='+', linestyle='None', label=r'Exp.')
# Fit
def Fourier(x, A, B):
return A*x + B
popt, pcov = spo.curve_fit(Fourier, Vx, VTperm)
Vxfit = np.linspace(Vx[0], Vx[-1], 100)
plt.plot(Vxfit, Fourier(Vxfit, *popt), label=r'Modèle')
phi = - popt[0] * np.pi * R**2
print('RĂ©gime permanent : flux thermique Phi')
print(' Phi = {} W'.format(phi))
print(' Puissance alim = {} W'.format(Palim))
print()
################################################################################
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# Loi de Fourier, régime permanent, avec pertes
plt.figure(4)
plt.xlabel(r'$x$ / m')
plt.ylabel(r'$T$ / °C')
plt.title(r'Température en fonction de la position, en régime permanent')
plt.plot(Vx, VTperm, marker='+', linestyle='None', label=r'Exp.')
# Fit
def Fourier(x, A, B, C):
return A*np.exp(-B*x) + C
popt, pcov = spo.curve_fit(Fourier, Vx, VTperm, bounds=[0, np.inf])
Vxfit = np.linspace(Vx[0], Vx[-1], 100)
plt.plot(Vxfit, Fourier(Vxfit, *popt), label=r'Modèle')
h = popt[1]**2 * l * R / 2
print('RĂ©gime permanent : pertes par h')
print(' h = {} W/m2/K'.format(h))
################################################################################
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# Affichage
plt.show()
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